2 Ableitungsregeln
Wir beginnendiesen Abshnitt mit der Kettenregelfurdierenzierbare Funktionen.
2.1 Satz. (Kettenregel). Es seien U R n
;V R m
oene Mengen, f :U ! R m
und
g : V ! R l
Abbildungen mit f(U) V. Ferner sei f in x
0
2U und g in y
0
:=f(x
0 )
dierenzierbar. Dann ist dieAbbildung gÆf :U !R l
in x
0
dierenzierbar und es gilt
D(gÆf)(x
0
)=Dg(f(x
0
))Df(x
0 );
bzw. in Matrixshreibweise
J
gÆf (x
0 )=J
g (f(x
0 ))J
g (x
0 ):
Im obigen Satz bedeutet
"
\ zum einen die Hintereinanderausfuhrung von linearen
Abbildungen und zum anderen dieMultiplikationvonMatrizen.
Beweis.WirsetzenA:=Df(x
0
)2L(R n
;R m
) undB :=Dg(f(x
0
))2L(R m
;R l
).Nah
Voraussetzung giltfur x=x
0
+h2U und y=y
0
+k2V
f(x
0
+h) = f(x
0
)+Ah+r
f (x)
g(y
0
+k) = g(y
0
)+Bk+r
g (y);
mit
lim
h!0 r
f (x)
khk
=0=lim
k!0 r
g (y)
kkk :
Setzt man k :=f(x
0
+h) f(x
0
)=Ah+r
f
(x), soerhalten wir
(gÆf)(x
0
+h) = g(f(x
0 )
|{z}
=y
0
+Ah+r
f (x)
| {z }
=:k )
= g(f(x
0
))+BAh+Br
f (x)
| {z }
=Bk
+r
g (y);
und es bleibt zu zeigen, dass
lim
h!0 Br
f (x)
khk
=0 und lim
h!0 r
g (y)
khk
=0
gilt.Da B 2L(R m
;R l
) nahSatz VI.2.6 stetig ist,folgt
lim
h!0 Br
f (x)
khk
=Blim
h!0 r
f (x)
khk
=B0=0;
und somit dieerste Aussage.
Fur den Beweis der zweiten Aussage notieren wir, dass A 2 L(R n
;R m
) nah Satz
VI.2.6 wiederum stetig ist. Nah demselben Satz existiert eine Konstante M > 0 mit
kAhk
R m
Lkhk
R n
furalleh2R n
und dahergilt
kkk=kAh+r
f
(x)k(M+ kr
f (x)k
khk
)khk:
Furh!0 giltauh k=f(x
0
+h) f(x
0
)!0 und somit ist
kr
g (y)k
khk
= kr
g (y)k
kkk
kkk
khk
kr
g (y)k
kkk
(M+ kr
f (x)k
khk ):
Also gilt
lim
h!0 r
g (y)
khk
=0:
2.2 Beispiel. Wir betrahten die Funktionenf :R 2
! R 3
and g : R 3
!R 2
gegeben
durh
f(x;y) := (x 2
;xy;xy 2
)
g(u;v;w) := (sinv;os(uvw))
Die Funktion h := g Æf : R 2
! R 2
gegeben durh h(x;y) = (sinx 2
;os (x 4
y 3
)) ist
dierenzierbar und es gilt
(2.1) Dh(x;y)=
2xosx 2
0
4x 3
y 3
sin(x 4
y 3
) 3x 4
y 2
sin(x 4
y 3
)
:
Furdie Ableitungen von f bzw. g gilt
Dg(u;v;w)=
osu 0 0
vwsin(uvw) uwsin(uvw) uvsin(uvw)
; Df(x;y)= 0
2x 0
y x
y 2
2xy 1
A
und wir verizieren, dass das Produkt dieser Matrizenander Stelle (u;v;w)=f(x;y)
mit(2.1)
ubereinstimmt.
Aus der obigen Kettenregel konnen wir nun relativeinfahAbleitungsregeln furSum-
men und Produkte dierenzierbarer Funktionenableiten.
2.3 Korollar. Es seien U R n
oen und f;g : U ! R m
in x
0
2 U dierenzierbare
Funktionen.Dann ist f +g fur beliebige ;2R in x
0
dierenzierbar und es gilt
D( f+g)(x )= Df(x )+Dg(x ):
Beweis. Setzt man F :=
f
g
: U ! R m
R m
und G : R m
R m
! R m
;G(u;v) :=
u+v,soistGlinear undsomit dierenzierbarmitAbleitungDG(u;v)=G furalle
u;v 2R m
und F ist ebenfallsin x
0
dierenzierbar mitAbleitung DF(x
0 ):=
Df(x
0 )
Dg(x
0 )
.
Die Kettenregelimpliziertdaher,dass GÆF gegeben durh GÆF(x)= f(x)+g(x)
in x
0
dierenzierbarist mitder Ableitung
D(GÆF)(x
0
)=DG(F(x
0
))DF(x
0 )=G
Df(x
0 )
Dg(x
0 )
=Df(x
0
)+Dg(x
0 ):
.
2.4 Korollar. (Produktregel). Es seien U R n
oen und f;g : U ! R in x
0 2 U
dierenzierbare Funktionen. Dann ist fg in x
0
dierenzierbar und es gilt
D(f g)(x
0
)=f(x
0 )Dg(x
0
)+g(x
0
)Df(x
0 ):
Beweis. Setztman F :=
f
g
:U !R R und G:RR !R; G( ;):=,so ist
(f g)(x)=(GÆF)(x) und dieBehauptung folgt aus der obigen Kettenregel.
2.5 Korollar. Es seien J R ein Intervall, V R m
eine oene Menge und =
(
1
;:::;
m
) : J ! V in t
0
2 J und f : V ! R in s
0
= (t
0
) dierenzierbare
Funktionen. Dann ist f Æ :J !R in t
0
dierenzierbar und es gilt
D(f Æ)(t
0
)=(gradf((t
0 ))j
0
(t
0 ))=
m
X
j=1 f
x
j ((t
0 ))
0
j (t
0 ):
Furden Beweisverweisen wir auf die
Ubungen.
2.6 Bemerkung. Stetige Abbildungen : J ! R m
werden auh Kurven genannt.
Letztere werden wir spater noh genauer untersuhen. Es sei an dieser Stelle jedoh
erwahnt, dass, fasst man t 2 J als Zeit und (t) 2 R m
als Ort auf, die zeitlihe
Bewegung eines Punktes in R m
beshreibt. Jede Kurve : J ! R m
kann durh ein
m-Tupel = (
1
;:::;
m
) beshrieben werden und fur eine dierenzierbare Kurve
gilt
0
(t
0 )=(
0
1 (t
0
);:::; 0
m (t
0 ))
T
2L(R;R m
)=R m
:
Der Vektor 0
(t
0
)heit der Tangentialvektorder Kurve in t
0 .
Mithilfe der obigen Formulierung der Kettenregel lassen sih die Begrie Gradient
und Niveaumenge geometrish wie folgt interpretieren: essei f :U !R eine dieren-
n
einem Intervall J R. Verlauft auf einer Niveaumenge von f, d.h. gilt f((t))=
furalle t 2 J und eine Konstante 2R, so steht der Gradient von f im Punkte (t)
senkreht auf dem Tangentialvektor 0
(t), d.h. esgilt
gradg((t))? 0
(t); t 2J:
GiltU R 2
,solasstsihderGraphvonf als
"
Landshaft\
uberU mitf(x)als
"
Hohe\
uberx interpretieren.DieNiveaumengenvonf entsprehen dannden Hohenlinien des
Graphen. Die obige Aussage besagt in diesem Bild also, dass der Gradient von f inx
senkreht auf der Hohenlinie durh x steht. Ferner zeigt gradf(x) indieRihtung des
starkesten Anstiegs vonf und grad f(x)in dieRihtung des steilstenAbfalls.
2.7 Beispiel. Eine dierenzierbare Funktion f :R n
nf0g!R heit positiv homogen
vom Grade 2R, falls
f(tx)=t
f(x); fur allex2R n
nf0g; t>0
gilt.Das obige Korollar2.5 impliziert,dass
(gradg(x)jx)= g(x); x2R n
nf0g
gilt.DieseBeziehung wirdauhEulersheRelationgenannt.FurdenBeweisverweisen
wir auf die
Ubungen.
Eine weitere Folgerung aus der Kettenregel ist der folgende Mittelwertsatz. Wie im
Fall einer Variablen kann man hiermit die Dierenz von Funktionswerten durh die
Ableitung ausdruken.
2.8Satz. (Mittelwertsatz).EsseienU R n
oenundf :U !R einedierenzierbare
Funktion.Fernerseiena;b 2U so,dassdieVerbindungssgtrekeab:=fa+t(b a);t2
[0;1℄g ganz in U liegt. Dann existiert ein 2ab mit
f(b) f(a)=f 0
()(b a):
Beweis. Deniert man g : [0;1℄!U durh g(t)=a+t(b a), so istg dierenzierbar
mitg 0
(t)=b afurallet 2(0;1).NahKorollar2.5istF =fÆg :[0;1℄!R ebenfalls
dierenzierbar mit F 0
(t) = f 0
(g(t))(b a) fur alle t 2 (0;1). Nah dem klassishen
Mittelsatz, Theorem IV.2.4 aus AnalysisI, existiert ein 2(0;1)mit
f(b) f(a)=F(1) F(0)=F 0
()=f 0
()(b a)
fur :=g()2ab.
.
In diesem Zusammenhang tritt in naturliher Weise der Begri der konvexen Menge
auf. Eine Menge U R n
heit konvex, falls ab=fa+t(b a);t 2[0;1℄gU giltfur
allea;b2U.
Furkonvexe Denitionsbereihe gilt diefolgende Variante des Mittelwertsatzes.
2.9 Satz. (Shrankensatz). Es sei U R n
eine oene und konvexe Menge. Ist f :
U ! R dierenzierbar und existiert ein L0 mit kgradf(x)k L fur alle x2U, so
gilt
jf(x) f(y)jLkx yk; x;y2U;
d.h. f ist Lipshitz-stetig mitLipshitzkonstante L.
Beweis. Nah dem Mittelwertsatz und der Cauhy-Shwarzshen Ungleihung gilt
jf(x) f(y)j=j(gradf()j(x y))jkgradf()kkx ykLkx yk
fureingeeignetes 2ab .
2.10 Korollar. Es seiU R n
eineoeneMenge, so dass fur jezwei Punkte x;y 2U
ein Strekenzug x = z
0
;z
1
;:::;z
l
= y existiert mit z
k 1 z
k
2 U fur alle k = 1;:::;l.
Dann ist eine dierenzierbare Funktion f :U ! R genau dann konstant auf U, wenn
gradf(x)=0 fur alle x2U gilt.
Furden Beweisverweisen wir auf die
Ubungen.
Wir beenden diesen Abshnitt miteiner nutzlihen Variantedes Mittelwertsatzes, die
jedohauf der starkeren Voraussetzung der stetigenDierenzierbarkeitberuht.
2.11 Satz. (MittelwertsatzinIntegralform). Es seiU R n
oenund f :U !R eine
stetig dierenzierbare Funktion. Dann gilt
f(y) f(x)= Z
1
Df(x+t(y x))(y x)dt
fur alle x;y2U mit xyU.
Beweis.Furt2[0;1℄denieren wir'(t) :=f(x+t(y x)). Dann ist'stetigdieren-
zierbar und der Hauptsatz der Dierential-und Integralrehnung impliziert
f(y) f(x)='(1) '(0)= Z
1
0 '
0
(t)dt= Z
1
0
Df(x+t(y x))(y x)dt:
3 Hohere Ableitungen
BetrahtetmaneineFunktionf :U R n
!R mitpartiellenAbleitungen f
x1
;:::; f
xn ,
so konnendiese wiederum partielldierenzierbar sein. DieFunktionen
x
i (
f
x
j
) heien
partielle Ableitungen 2. Ordnung von f und werdenoft auh als
2
f
x
j x
i
geshrieben.
AllgemeinerheiteineFunktionf :U !R (`+1)-mal(stetig)partielldierenzierbar,
falls f `-mal partiell dierenzierbar ist und alle Ableitungen ` ter Ordnung (stetig)
partiell dierenzierbarsind. In den folgenden Untersuhungen wird der Vektorraum
C k
(U):=ff :U !R;f ist k malstetig partielldierenzierbarg
eine wihtige Rolle spielen.Ist f k-malstetig partiell dierenzierbar, soshreiben wir
auh
x
i
k :::
x
i
1 f =:
k
f
x
i
k :::x
i
1
=:f
x
in :::x
i
1
und
i :::
i f =:
k
x k
i :
Im folgenden Beispiel berehnen wir die zweiten partiellenAbleitungen der Funktion
f :R 2
!R deniert durh f(x;y):=x 2
siny.Es giltdann
f
x
(x;y) = 2xsiny f
y
(x;y) = x 2
osy
f
xx
(x;y) = 2siny f
xy
(x;y) = 2xosy
f
yx
(x;y) = 2xosy f
yy
(x;y) = x 2
siny
und insbesondereistf
xy
=f
yx
indiesemBeispiel. ImAllgemeinenistdies jedohniht
der Fallwie das folgende Beispielaufzeigt.
3.1 Beispiel. Essei f :R 2
!R deniert durh
f(x;y):=
(
x 3
y xy 3
x 2
+y 2
(x;y)6=(0;0)
0 (x;y)=(0;0)
Dann istf 2C 1
(R 2
), diepartiellenAbleitungen f
xy und f
yx
existierenund sind stetig
auf R 2
nf(0;0)g,aberes gilt
f
xy
(0;0)=1 und f
yx
(0;0)= 1:
Diese Tatsahe verizieren wir in den
Ubungen.
Es kann sogar die Situationeintreten, dass nur eine der beiden partiellenAbleitungen
ij
f oder
ji
f existieren. Der folgende Satz von H.A. SCHWARZ (1843-1921) besagt,
dass derartiges niht eintritt, wenn eine der beiden partiellen Ableitungen
ij
f oder
f stetig ist.
3.2 Satz. (Satz von Shwarz). Es sei U R n
oen und f : U ! R besitze fur eine
Wahl von i;j 2 f1;:::;ng in einer Umgebung von x
0
2 U partielle Ableitungen
i f,
j f,
ij
f. Ist
ij
f stetig in x
0
, so existiert
ji
f und es gilt
ij f(x
0 )=
ji f(x
0 ):
Beweis.WirwahlenÆ
i
;Æ
j
>0soklein,dassx
0 +se
i +te
j
2U furalle(s;t)2( Æ
i
;Æ
i )
( Æ
j
;Æ
j
)=:QR 2
gilt.Dannist dieFunktion
':Q!R; '(s;t):=f(x
0 +se
i +te
j )
wohl deniert und partielldierenzierbar. Fernerexistieren diepartiellenAbleitungen
1
2
'und diese sind auh stetig in(0;0).
Esist zu zeigen,dass
2
1
'(0;0) existiertund mit
1
2
'(0;0)ubereinstimmt. Nah
Denition gilt
2
1
'(0;0) = [ d
dt (lim
s!0
'(s;t) '(0;t)
s
)℄(0)
= lim
t!0 lim
s!0 1
s
['(s;t) '(0;t)℄ ['(s;0) '(0;0)℄
t
:
Wendenwir denMittelwertsatzaufdenDierenzenquotientenbzgl. derzweitenVaria-
blen an, soerhalten wir
1
s
['(s;t) '(0;t)℄ ['(s;0) '(0;0)℄
t
= 1
s
2
['(s;t) '(0;t)℄
= 1
s [
2
'(s;t)
2
'(0;t)℄
fur ein 2 (0;1). Dies ist jedoh ein Dierenzenquotient von
2
' bezuglih der er-
sten Variable s. Nah Voraussetzung ist
2
'bzgl. der erstenVariablen dierenzierbar
und nah dem Mittelwertsatz existiert ein 2 (0;1) mit 1
s [
2
'(s;t)
2
'(0;t)℄ =
1
2
'(s;t).Ferner ist
1
2
' nah Voraussetzung stetig in (0;0) und daher gilt
2
1
'(0;0)=lim
t!0 lim
s!0
1
2
'(s;t)=
1
2
'(0;0):
3.3 Korollar. Ist U R n
eineoene Menge und f 2C k
(U) fur ein k 2N, so gilt
x
i
k :::
f
x
i
1
=
x
(k) :::
f
x
(1)
fur jede Permutation :f1;:::;kg!f1;:::;kg.
Den Beweis via Induktion nah k
uberlassenwir dem Leser.
Im Folgenden wollen wir die Ableitungen k-malstetig dierenzierbarer Funktionen f
in Verallgemeinerung des Dierentialsalssymmetrishe, k-fahlineare Abbildung
D k
f(x
0 ):R
n
R n
!R
auassen.
Wirbeginnen mitdemFallk =2undbetrahten 2-malstetigdierenzierbareFunk-
tionen, d.h. dierenzierbare Funktionenf furwelhe Df stetig dierenzierbarist und
denieren eine Bilinearform a(u;v) fur (u;v)2R n
R n
durh
D 2
f(x
0
)(u;v):=D
u (D
v f)(x
0 ); x
0 2R
n
:
AufgrundvonSatz1.6istdieRihtungsableitungD
v f(x
0
)vonf inRihtungvgegeben
durhD
v f(x
0
)=Df(x
0
)v.FerneristdieFunktionD
v
f wiederuminx
0
dierenzierbar,
da dies fur Df gilt. Nah Satz 1.6 besitzt daher D
v
f in x
0
Rihtungsableitungen in
Rihtung uund esgilt
D
u (D
v f)(x
0
)=D(D
v f(x
0
))u= n
X
i;j=1
ij f(x
0 )v
i u
j :
Die Abbildung
(u;v)7!D
u D
v f(x
0 )
ist linearinu und v und ferner nah dem obigenSatz vonShwarz auh symmetrish.
Sie wird als Dierential zweiter Ordnung vonf in x
0
bezeihnet. Bezuglih der kano-
nishen Basis des R n
istihre Matrixdarstellung gegeben durh
H
f (x
0 )=
0
B
11 f(x
0
) :::
1n f(x
0 )
.
.
.
.
.
.
n1 f(x
0
) :::
nn f(x
0 )
1
C
A :
DieseMatrixheitHesse-Matrix.NahdemSatzvonShwarzistsieeinesymmetrishe
Matrix und es gilt
(3.1) D
2
f(x
0
)(u;v)=u T
H
f (x
0 )v:
Wir werden imAnshluss andieTaylorapproximation noh genauer auf diegeometri-
she Bedeutung der zweiten Ableitungeingehen.
Fur beliebigesk 2N denieren wir D k
f(x
0
) analogzum Fallk =2 als
D k
f(x
0 )(v
1
;:::;v k
):=D
v 1:::D
v kf(x
0 ); v
1
;:::;v k
2R n
:
1 k
In diesem Zusammenhang erweist es sih als nutzlih, den Begri des Multiindex
einzufuhren.Darunterversteht maneinn-Tupel=(
1
;:::;
n )2N
n
.Die naturlihe
Zahl
j j:=
1
+:::+
n
heit Ordnung von . Ferner deniert man
!:=
1
!
2
!:::
n
!
und furx=(x
1
;:::;x
n )2R
n
setzt man
x
:= x 1
1 x
2
2 :::x
n
n und
D
f := D 1
1 D
2
2
:::D n
n f :=
jj
x
1
1
x n
n f;
D 0
f := f:
Ersetzt man in einemPolynom pvon n Variablen
1
;:::;
n
vomGrade m2N, d.h.
p()= X
jjm a
;
die Variablen
i
durh Ableitungsoperatoren
i
, so entsteht ein sogenannter linearer
Dierentialoperatoren P(D) der Form
P(D):C m
(R n
)!C(R n
); P(D):=
X
jjm a
D
mit KoeÆzienten a
.
3.4Beispiele.a)EinsehrwihtigesBeispieleinesDierentialoperatorsistderLaplae-
Operator deniert durh
:=
2
1
+:::+ 2
n :
Das zugehorige Polynom pist indiesem Fallgegeben durh p()= 2
1
+:::+ 2
n .
b)Furh=(h
1
;:::;h
n )2R
n
betrahten wirdas Polynom p()=h
1
1
+:::+h
n
n und
setzen
rh:=p(D)=h
1
1
+:::+h
n
n :
) Fur a=(a
1
;:::;a
n )2R
n
und `2N gilt
(a
1
+:::+a
n )
`
= X
jj=`
`!a
! :
Den Induktionsbeweis
uberlassenwir dem Leser.
d) Fur h=(h
1
;:::;h
n
) und `2N gilt
(rh)
`
=(h
1
1
+:::+h
n
n )
`
=`!
X
h
! :
DenLaplae-Operatorkann manauhalsdieSpurder Hesse-MatrixH
f
(x)einerzwei-
malstetig dierenzierbaren Funktionidentizieren, d.h. es gilt
(3.2) spur H
f (x)=
n
X
i=1
2
i
f(x)=f(x):
AufgrunddieserBeziehung,konnenwirnundieDrehinvarianzderSpureinerMatrixauf
dieDrehinvarianzdesLaplae-Operators
ubertragen.Genauer gesagt,giltderfolgende
Satz.
3.5Satz. (DrehinvarianzdesLaplae-Operators).FurjedeOrthonormalbasisv
1
;:::;v
n
des R n
gilt
=
2
v1
+:::+ 2
vn :
Beweis. Nah Gleihung (3.1) gilt
v
i
v
i
f(x)=v T
i H
f (x)v
i
=e T
i
~
He
i
;
mit
~
H = V T
H
f
V, V = (v
1
;:::;v
n
) und den kanonishen Basisvektoren e
1
;:::;e
n .
Somit gilt
n
X
i=1
2
v
i
f =spur
~
H:
Da V nah Voraussetung orthogonal ist, besitzen die Matrizen H
f und
~
H diesselbe
Spur und die Behauptung folgtaus Gleihung (3.2).
Der LaplaeOperatortrittinvielen Dierentialgleihungender Analysisundder Phy-
sik auf. Beispielhaft erwahnen wir andieser Stelle diefolgenden Gleihungen:
1. Die Potentialgleihung
u=0:
Siebeshreibt Diusionsprozesseund tritt auh inder Wahrsheinlihkeitstheorie auf.
Ihre Losungen heien harmonishe Funktionen. In der Dimension 2 bilden diese den
Ausgangspunkt der Funktionentheorie.
2. Die Wellengleihung
u
tt
=u
beshreibt die Auslenkungeines elastishen Korpers.
3. Die Warmeleitungsgleihung
u
t
=u
beshreibt die Warmeleitungin homogenenMedien.
4. Die Shrodingergleihung
u
t
=iu
ist diezentrale Gleihung der Quantenmehanik.
Zum Abshluss dieses Abshnitts berehnen wir noh f fur eine rotationssymme-
trishe Funktion. Es sei F 2 C 2
(J), wobei J (0;1) ein Intervall ist. Setzt man
f(x):=F(kxk
2
)und r :=kxk
2
, so gilt
i
f(x)=F 0
(r) x
i
r
und
2
i
f(x)=F 00
(r) x
2
i
r 2
+F 0
(r)(
1
r x
2
i
r 3
):
Somit ergibt sih
f(x)=F 00
(r)+ n 1
r F
0
(r)
undesgiltf =0genaudannwenndieGleihungF 00
(r)+
n 1
r F
0
(r)=0erfulltist.Wir
konnen leiht nahprufen, dass fur n >2 die Funktion F gegeben durh F(r) =r 2 n
eine Losung dieser Gleihung ist.Somit ist diedurh
N(x):=
1
kxk n 2
2
auf R n
nf0gdenierte Funktioneine Losungder Potentialgleihungf =0.Die Funk-
tion N stimmtbisauf einenSkalierungsfaktor mitdem sogenannten Newton-Potential
auf R n
nf0g
uberein.
