Lineare Algebra II -Sophiane Yahiatene-
Aufgabe 18.3 SeiKein K¨orper und P ∈K[X].
a) Behauptung: Es gibt im PolynomringK[X, Y] eine Taylorentwicklung P(X+Y) =P(X) +X
n
Φn(X)Yn
mit Φn(X)∈K[X].
Beweis. SeiP(X) =Pm
i=0aiXi∈K[X], so gilt mit ki
:= 0, ∀k > i:
P(X+Y) =
m
X
i=0
ai(X+Y)i=
m
X
i=0
ai
Xi
k=0
n k
XkYi−k
= X
0≤i,k≤m
ai i
k
XkYi−k
= X
0≤i,k≤m;i=k
ai i
k
XkYi−k+ X
0≤i,k≤m;i6=k
ai i
k
XkYi−k
=
m
X
i=0
aiXi+ X
0≤i,k≤m;i6=k
ai
i k
XkYi−k
Mit Φn(X) :=Pm i=nai i
i−n
Xi−n gilt nun:
P(X+Y) =P(X) +
m
X
n=1 m
X
i=0
aiXi−n
Yn=P(X) +
m
X
n=1
Φn(X)Yn
b) Behauptung: Ist char(K) = 0, so gilt Φn(X) = n!1 dxdn P(X) Beweis. Sei Œ P(X) =Xm.
P(X+Y) = (X+Y)m=
m
X
n=0
m n
Xm−nYn
=P(X) +
m
X
n=1
m n
Xm−nYn
=P(X) +
m
X
n=1
1 n!
m!
(m−n)!Xm−nYn
=P(X) +
m
X
n=1
1 n!
d dX
n
Xm
| {z }
Φn(X)
Yn
1
