f (x)g 0 (x) dx . Entsprechend gilt Z b

Partielle Integration

Aus der Produktregel (fg ) ⁰ = f ⁰ g + fg ⁰ ergibt sich eine analoge Formel f¨ ur unbestimmte Integrale:

Z

f ⁰ (x)g (x) dx = f (x)g (x) − Z

f (x)g ⁰ (x) dx . Entsprechend gilt Z b

a

f ⁰ g = [fg ] ^b _a − Z b

a

f g ⁰ f¨ ur bestimmte Integrale.

Dabei ist zu beachten, dass der Randterm [f g ] ^b _a verschwindet, wenn eine der beiden Funktionen an den Intervallendpunkten Null ist. Er entf¨ allt ebenfalls f¨ ur periodische Funktionen mit Periodenl¨ ange (b − a).

Die partielle Integration eignet sich zur Integration von Produkten, bei denen ein Faktor durch Differenzieren einfacher wird (z.B. ein Polyom) oder zumindestens nicht komplizierter (z.B. Exponentialfunktionen oder trigonometrische Funktionen).

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Beispiel

Partielle Integration von x √ 1 ± x

R (1 + x) ^s dx = _s+1 ¹ (1 + x) ^s+1 + c f¨ ur s 6= −1 = ⇒ Z

x √ 1 + x

f g

dx = x (2/3)(x + 1) ^3/2

f g

− Z

1 · (2/3)(1 + x) ^3/2

f

g

dx

= 2

3 x(1 + x) ^3/2 − 2 3 2 5

|{z}

2/15

(1 + x) ^5/2 + c

analog: (d/dx)(−(2/3)(1 − x) ^3/2 ) = √

1 − x = ⇒ Z 1

0

x √ 1 − x

f g

dx =

−x 2

3 (1 − x) ^3/2 1

0

+ Z 1

0

1 · 2

3 (1 − x) ^3/2 dx

= 0 − 4

15 (1 − x) ^5/2 1

0

= 4

15

Beispiel

Partielle Integration logarithmischer Faktoren (i) R

f ⁰ g = fg − R

fg ⁰ mit f ⁰ (x) = x ⁿ , f (x) = x ⁿ⁺¹ /(n + 1), g (x) = ln |x|, g ⁰ (x) = 1/x = ⇒

Z

x ⁿ ln |x| dx = 1

n + 1 x ⁿ⁺¹ ln |x| − Z 1

n + 1 x ⁿ⁺¹ 1 x dx

= 1

n + 1 x ⁿ⁺¹ ln |x| − 1

(n + 1) ² x ⁿ⁺¹ + c (ii) Analoge Integration von Ausdr¨ ucken der Form P

j ,k a _j,k x ^j (ln |x|) ^k , z.B.

Z e 1

x ² (ln x) ² dx =

∗ [(x ³ /3)(ln x) ² ] ^x=e _x=1 − Z e

1

(x ³ /3)(2 ln x/x) dx

= (e ³ /3 · 1 ² − 1/3 · 0 ² ) − Z e

1

(2/3)(x ² ln x) dx ,

* Kettenregel: z = (y) ² , y = ln x z ⁰ (x) = (dz/dy )(dy/dx) = (2y)/x Berechnung des verbleibenden Integrals mit der Stammfunktion aus (i)

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Beispiel

Partielle Integration von Produkten aus Monomen und Exponentialfunktionen

(i) Unbestimmtes Integral:

(d/dx) e ^x = e ^x = ⇒

R x ⁿ e ^x dx = x ⁿ e ^x − R

nx ⁿ⁻¹ e ^x dx

f g ⁰ f g f ⁰ g

partielle Integration gleicher Typ erneute partielle Integration

− Z

nx ⁿ⁻¹ e ^x dx = −nx ⁿ⁻¹ e ^x + Z

n(n − 1)x ⁿ⁻² e ^x dx

= −nx ⁿ⁻¹ e ^x + n(n − 1)x ⁿ⁻² e ^x − Z

n(n − 1)(n − 2)x ⁿ⁻³ e ^x dx = . . . Hinzuf¨ ugen des Terms x ⁿ e ^x = ⇒ R

x ⁿ e ^x dx = P n

k=0 (−1) ^{n−k n!} _k! x ^k + c

(ii) Bestimmtes Integral:

konkreter Fall eines quadratischen Polynoms R 1

0 (x ² − 3x + 1) e ^x dx = [ (x ² − 3x + 1) e ^x ] ^x=1 _x=0 − R 1

0 (2x − 3) e ^x dx

f g ⁰ f g f ⁰ g

erster Term

[fg ] ^x=1 _x=0 = (1 − 3 + 1)e ¹ − (0 − 0 + 1)e ⁰ = −e − 1 zweiter Term, berechnet mit erneuter partieller Integration

− Z ₁

0

f ⁰ g = −

[(2x − 3)e ^x ] ^x=1 _x=0 − Z ₁

0

2e ^x dx

= −

(−e + 3) − 2[e ^x ] ^x=1 _x=0

= e − 3 + 2e − 2 = 3e − 5 Summe der Terme R 1

0 fg ⁰ = 2e − 6

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(iii) Produkte mit trigonometrischen Funktionen:

R x ⁿ

cos x sin x

dx = x ⁿ

sin x

− cos x

− R

nx ⁿ⁻¹

cos x sin x

dx

f g ⁰ f g f ⁰ g

Beispiel

Paradox bei partieller Integration

(d/dx) e ^x = e ^x , (d/dx) cosh x = sinh x, (d/dx) sinh x = cosh x partielle Integration R

fg ⁰ = fg − R

f ⁰ g mit

(1) f = e ^x , g ⁰ = sinh x und (2) f = e ^x , g ⁰ = cosh x = ⇒ Z

e ^x sinh x dx =

(1) e ^x cosh x − Z

e ^x cosh x dx

=

(2) e ^x cosh x − e ^x sinh x + Z

e ^x sinh x dx (vermeintlicher) Widerspruch: e ^x cosh x = e ^x sinh x

Erkl¨ arung: Identit¨ at zwischen Stammfunktionen beinhaltet (unbestimmte) Integrationskonstante c

c = 1 = ⇒

e ^x e ^x + e ^−x 2

| {z }

cosh x

= e ^x e ^x − e ^−x 2

| {z }

sinh x

+c X

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Beispiel

Integration von e ^ax sin(bx) und e ^ax cos(bx) mit alternativen Methoden (i) Zweimalige partielle Integration:

I = R

e ^ax sin(bx) dx = e ^ax

a sin(bx ) − R e ^ax

a b cos(bx) dx

f ⁰ g f g f g ⁰

nochmalige partielle Integration mit f ⁰ = e ^ax /a und g = b cos(bx) I = e ^ax

a sin(bx) − b a

e ^ax

a cos(bx) − b ² a ²

Z

e ^ax sin(bx) dx

| {z }

I

Aufl¨ osen nach I I =

Z

e ^ax sin(bx) dx = ae ^ax sin(bx) − be ^ax cos(bx)

a ² + b ² + c

(ii) Komplexe Methode:

Formel von Euler-Moivre, e ^it = cos t + i sin t = ⇒ cos t = Re (exp(it)) Anwendung auf den kontreten Integrand e ^t cos t

Z π

0

e ^t cos(t) dt = Re Z π

0

exp(t + it) dt

= Re

exp(t + it) 1 + i

t=π

t=0

= Re

e ^π+iπ − e ⁰⁺⁰ 1 + i

e ^iπ = −1, Erweitern mit 1 − i, (1 + i)(1 − i) = 1 + 1 = 2 Re

−e ^π − 1 1 + i

= Re

−e ^π − 1 2 (1 − i)

= − e ^π + 1 2

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Beispiel

Orthogonalit¨ at trigonometrischer Funktionen

kein Randterm bei partieller Integration periodischer Funktionen ¨ uber Periodizit¨ atsintervalle [a, b] d.h. R _b

a f ⁰ g = − R _b

a fg ⁰

Anwendung auf Produkte von Sinus und Kosinus, z.B.

I = R π

−π sin(nx) sin(mx) dx = − R π

−π (− cos(nx)/n) (m cos(mx)) dx

f ⁰ g f g ⁰

erneute partielle Integration mit f ⁰ = − cos(nx )/n, g = m cos(mx) I =

Z π

−π

(− sin(nx)/n ² )(−m ² sin(mx)) dx = m ² n ² I

= ⇒

Z π

−π

sin(nx) sin(mx) dx = 0, m 6= n

m = n: Identit¨ at nach der ersten partiellen Integration, R _π

−π sin ² (nx ) dx = R _π

−π cos ² (nx) dx , und cos ² (nx) = 1 − sin ² (nx) = ⇒ 2

Z π

−π

sin ² (nx) dx = Z π

−π

1 dx = 2π analoges Argument Orthogonalit¨ at von cos(nx )

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