Riemann-Integral
Das Riemann-Integral einer st¨ uckweise stetigen Funktion f ist durch Z
ba
f (x ) dx = lim
|∆|→0
Z
b af
∆(x ) dx = lim
|∆|→0
X
k
f (ξ
k) ∆x
kdefiniert. Dabei bezeichnet ∆ : a = x
0< x
1< · · · < x
n= b eine Zerlegung von [a, b], ∆x
k= x
k− x
k−1,
|∆| = max
k
∆x
kist die maximale Intervalll¨ ange und ξ
kist ein beliebiger Punkt im k-ten Intervall. Gebr¨ auchlich ist ebenfalls die abgek¨ urzte Schreibweise R
ba
f . Die Summen auf der rechten Seite der Integraldefinition werden
Riemann-Summen genannt und k¨ onnen als Integral einer Treppenfunktion interpretiert werden.
Aufgrund der fest gew¨ ahlten Integrationsgrenzen wird R
ba
f = R
ba
f (x ) dx als bestimmtes Integral bezeichnet.
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F¨ ur eine positive Funktion f entspricht R
ba
f (x ) dx dem Inhalt der Fl¨ ache unterhalb des Graphen von f .
2 / 87
Beweis
Nachweis der Konvergenz der Riemann-Summen f¨ ur stetig differenzierbares f mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums zu zeigen:
Z
b af
∆m− Z
ba
f
∆n< ε f¨ ur m, n > N
εf¨ ur jede Folge ∆
1, ∆
2, . . . von Zerlegungen mit |∆
i| → 0
Vergleich der Riemann-Summen mit Hilfe einer Zerlegung ∆ bestehend aus der Vereinigung der Unterteilungspunkte von ∆
mund ∆
n∆
m: x
i, i = 0, . . . , k
m, ∆
n: y
i, i = 0, . . . , k
nund
∆: z
j, j = 0, . . . , k mit der Riemann-Summe
k
X
j=1
f (ζ
j) ∆z
j, ζ
j∈ [z
j−1, z
j]
Mittelwertsatz = ⇒
|f (r ) − f (s )| ≤ |r − s| max
t
|f
0(t )|
P
xi−1≤zj−1<zj≤xi
∆z
j= ∆x
iund |ζ
j− ξ
i| ≤ (x
i− x
i−1) ≤ |∆
m| f¨ ur ζ
j∈ [x
i−1, x
i] sowie P
kmi=1
∆x
i= b − a = ⇒
Z
b af
∆− Z
ba
f
∆m=
k
X
j=1
f (ζ
j) ∆z
j−
km
X
i=1
f (ξ
i) ∆x
i=
km
X
i=1
X
xi−1≤zj−1<zj≤xi
(f (ζ
j) − f (ξ
i))∆z
j≤ |∆
m| max
t∈[a,b]
|f
0(t)|
| {z }
=c
km
X
i=1
X
xi−1≤zj−1<zj≤xi
∆z
j| {z }
=b−a
,
d.h.
Z
b af
∆− Z
ba
f
∆m≤ c (b − a) |∆
m| analoge Absch¨ atzung f¨ ur | R
ba
f
∆− R
ba
f
∆n|
Z
ba
f
∆m− Z
ba
f
∆n≤ c (b − a) (|∆
m| + |∆
n|) → 0 m, n → ∞ analog: Konvergenz zweier Folgen gegen den gleichen Grenzwert ebenfalls analog: Beweis f¨ ur st¨ uckweise stetiges f , basierend auf der gleichm¨ aßigen Stetigkeit von f :
|f (x
1) − f (x
2)| ≤ ε f¨ ur |x
1− x
2| < δ
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Beispiel
Berechnung von R
10
x
2dx mit Riemann-Summen Folge von Partitionen
∆
n: x
k= k /n , k = 0, . . . , n Auswertungsstellen
ξ
k= (2k − 1)/(2n) , k = 1, . . . , n Grenzwert der Riemann-Summen
Z
10
f
∆n=
n
X
k=1
1 n
2k − 1 2n
2= 1 4n
34
n
X
k=1
k
2− 4
n
X
k=1
k +
n
X
k=1
1
!
= 1
4n
34n(n + 1)(2n + 1)
6 − 4n(n + 1)
2 + n
= 1 3 − 1
12n
2= ⇒ lim
n→∞R
f
∆n=
136 / 87
Eigenschaften des Riemann-Integrals
Das bestimmte Integral besitzt folgende Eigenschaften:
Linearit¨ at:
Z
b ar f = r Z
ba
f , Z
ba
f + g = Z
ba
f + Z
ba
g Monotonie: f ≤ g = ⇒
Z
b af ≤ Z
ba
g Additivit¨ at:
Z
b af + Z
cb
f = Z
ca
f
In ¨ Ubereinstimmung mit der letzten Eigenschaft definiert man R
ab
f = − R
b af .
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sind die Funktionen f und g auf [a, b] stetig und besitzt g keinen Vorzeichenwechsel, so existiert c ∈ (a, b) mit
Z
b af g = f (c ) Z
ba
g .
Insbesondere ist, wie in der Abbildung veranschaulicht, R
ba
f = (b − a)f (c ).
Beweis o.B.d.A. g ≥ 0
Absch¨ atzung des Integranden (min
[a,b]
f ) g (x ) ≤ f (x )g(x ) ≤ (max
[a,b]
f ) g (x ) Integration
(min
[a,b]
f ) Z
ba
g ≤ Z
ba
f g ≤ (max
[a,b]
f ) Z
ba
g Zwischenwertsatz = ⇒
Z
b af g
. Z
b ag
= f (c ) f¨ ur ein c ∈ [a, b]
Gegenbeispiel bei Vorzeichenwechsel von g : Z
1−1
x
2dx
| {z }
>0
= Z
1−1
x
|{z}
f
· x
|{z}
gdx 6= c Z
1−1
x dx = 0
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Stammfunktion
Eine Funktion F mit F
0= f ist eine Stammfunktion von f , und man schreibt
Z
f (x ) dx = F (x ) + c
f¨ ur die Menge aller Stammfunktionen, die als unbestimmtes Integral von f bezeichnet wird. Ebenfalls gebr¨ auchlich ist die Kurzschreibweise
R f = F + c.
Die Integrationskonstante c ∈ R ist beliebig. Beispielsweise ist F
a(x ) =
Z
x af (t) dx mit F
a(a) = 0 eine m¨ ogliche Stammfunktion.
Nicht zu allen elementaren Funktionen ist die explizite Angabe einer Stammfunktion m¨ oglich. Ein Beispiel ist f (x ) = exp(x
2).
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Spezielle Stammfunktionen
f (x ) F (x ) f (x ) F (x )
x
s, s 6= −1 x
s+1/(s + 1) 1/x ln |x | exp(x ) exp(x ) ln(x ) x ln(x ) − x
sin x − cos x cos x sin x
tan x − ln(cos x ) sin x cos x sin
2(x )/2 1/(1 + x
2) arctan x 1/ √
1 − x
2arcsin x
Hauptsatz der Integralrechnung
Ist F eine Stammfunktion einer stetigen Funktion f , d.h. f = F
0, so gilt Z
ba
f (x ) dx = F (b) − F (a) bzw. in Kurzschreibweise
Z
b af = [F ]
ba.
Ein bestimmtes Integral l¨ asst sich also als Differenz der Funktionswerte
einer Stammfunktion an den Intervallendpunkten berechnen.
Beweis
betrachte beide Seiten der zu beweisenden Identit¨ at Z
ba
f (x ) dx = F (b) − F (a) als Funktion von b
Ubereinstimmung f¨ ¨ ur b = a (beide Seiten Null) gen¨ ugt Gleichheit der Ableitungen zu zeigen Ableitung der linken Seite
h→0
lim 1 h
Z
b+h af − Z
ba
f
= lim
h→0
1 h
Z
b+h bf Mittelwertsatz = ⇒
Z
b+h bf = (b + h − b) f (c) = h f (c ) mit c ∈ (b, b + h)
f (c ) → f (b) = ⇒ Ableitung der linken Seite gleich f (b) gleicher Wert f¨ ur die Ableitung der rechten Seite (F
0= f )
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Beispiel
Integration von Polynomen, illustriert f¨ ur p(x ) = x
2− 4x + 3 (i) Stammfunktion und bestimmtes Integral:
R x
kdx = x
k+1/(k + 1) + c = ⇒ Z
p(x ) dx = Z
x
2− 4x + 3 dx = x
33 − 4 x
22 + 3x + c , d.h. P (x ) = x
3/3 − 2x
2+ 3x ,
Bestimmtes Integral, beispielsweise ¨ uber das Intervall [−1, 2]:
Z
2−1
x
2− 4x + 3 dx = [x
3/3 − 2x
2+ 3x ]
x=2x=−1= (8/3 − 8 + 6) − (−1/3 − 2 − 3) = 6
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(ii) Fl¨ ache, eingeschlossen mit der x -Achse:
Nullstellen x
kRandpunkte Formel f¨ ur die L¨ osung der quadrati- schen Gleichung x
2− 4x + 3 = 0
= ⇒ x
1,2= 4
2 ± q
(4/2)
2− 3 = 2 ± 1 , d.h. x
1= 1, x
2= 3
Berechnung der Fl¨ ache als bestimmtes Integral (negatives Vorzeichen des Integrals, da der Funktionsgraph im relevanten Intervall [x
1, x
2] unterhalb der x -Achse liegt)
− Z
31
x
2− 4x + 3 dx = −[x
3/3 − 2x
2+ 3x ]
x=3x=1= −(3
3/3 − 2 · 3
2+ 3 · 3) + (1/3 − 2 + 3)
= −0 + 4/3 = 4/3
Beispiel
Integration der Exponential-Funktion
d dx exp x
| {z }
f(x)
= exp x
Stammfunktion F (x ) = exp x und
Z
b ae
xdx = [e
x]
x=bx=a= e
b− e
aDie Fl¨ ache unter dem Graph zwischen a und b entspricht einem Rechteck
mit Breite 1 und dem Abstand der Funktionswerte als H¨ ohe.
Beispiel
Integration von f (x) = 1/(1 + x
2) und g (x ) = tan x Stammfunktionen
F (x ) = arctan x + c , G (x ) = − ln(cos x ), |x | < π/2 Anwendung des Hauptsatzes R
ba
f = [F ]
baf¨ ur konkrete Intervalle [a, b]
Z
1 0dx
1 + x
2= [arctan]
10= arctan(1) − arctan(0) = π 4 Z
π/40
tan x dx = − [ln(cos x)]
x=π/4x=0= − ln(1/ √
2) + ln(1) = 1 2 ln(2)
17 / 87
Beispiel
Kraft auf einen K¨ orper der Masse m im Gravitationsfeld eines Planeten mit Masse M:
f (x ) = γ mM x
2mit γ der Gravitationskonstante und x dem Abstand der Schwerpunkte Z
f (x ) dx = −γ mM x
| {z }
F(x)
+c
Arbeit bei Bewegung vom Abstand x = a zum Abstand x = b Z
ba
f (x ) dx = γmM Z
ba
1 x
2dx =
−γ mM x
x=b x=a= γmM 1
a − 1 b
a: Radius r des Planeten, b → ∞ und Gleichsetzen mit der kinetischen Energie Fluchtgeschwindigkeit:
m
2 v
2= γ mM
r = ⇒ v = p
γ2M /r v
Erde= 11.2 km/s
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Partielle Integration
Aus der Produktregel (fg )
0= f
0g + fg
0ergibt sich eine analoge Formel f¨ ur unbestimmte Integrale:
Z
f
0(x )g (x ) dx = f (x )g(x ) − Z
f (x )g
0(x ) dx . Entsprechend gilt Z
ba
f
0g = [fg ]
ba− Z
ba
f g
0f¨ ur bestimmte Integrale.
Dabei ist zu beachten, dass der Randterm [f g ]
baverschwindet, wenn eine der beiden Funktionen an den Intervallendpunkten Null ist. Er entf¨ allt ebenfalls f¨ ur periodische Funktionen mit Periodenl¨ ange (b − a).
Die partielle Integration eignet sich zur Integration von Produkten, bei denen ein Faktor durch Differenzieren einfacher wird (z.B. ein Polyom) oder zumindestens nicht komplizierter (z.B. Exponentialfunktionen oder trigonometrische Funktionen).
Beispiel
Partielle Integration von x √ 1 ± x
R (1 + x )
sdx =
s+11(1 + x )
s+1+ c f¨ ur s 6= −1 = ⇒ Z
x √ 1 + x
f g0
dx = x (2/3)(x + 1)
3/2f g
− Z
1 · (2/3)(1 + x )
3/2f0 g
dx
= 2
3 x (1 + x )
3/2− 2 3 2 5
|{z}
2/15
(1 + x )
5/2+ c
analog: (d/dx )(−(2/3)(1 − x )
3/2) = √
1 − x = ⇒ Z
10
x √ 1 − x
f g0
dx =
−x 2
3 (1 − x )
3/2 10
+ Z
10
1 · 2
3 (1 − x )
3/2dx
= 0 − 4
15 (1 − x )
5/2 10
= 4
15
Beispiel
Partielle Integration logarithmischer Faktoren (i) R
f
0g = fg − R
fg
0mit f
0(x) = x
n, f (x ) = x
n+1/(n + 1), g (x ) = ln |x |, g
0(x ) = 1/x = ⇒
Z
x
nln |x | dx = 1
n + 1 x
n+1ln |x | − Z 1
n + 1 x
n+11 x dx
= 1
n + 1 x
n+1ln |x | − 1
(n + 1)
2x
n+1+ c (ii) Analoge Integration von Ausdr¨ ucken der Form P
j,k
a
j,kx
j(ln |x |)
k, z.B.
Z
e 1x
2(ln x )
2dx =
∗
[(x
3/3)(ln x )
2]
x=ex=1− Z
e1
(x
3/3)(2 ln x /x ) dx
= (e
3/3 · 1
2− 1/3 · 0
2) − Z
e1
(2/3)(x
2ln x ) dx ,
* Kettenregel: z = (y )
2, y = ln x z
0(x ) = (dz /dy )(dy /dx ) = (2y )/x Berechnung des verbleibenden Integrals mit der Stammfunktion aus (i)
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Beispiel
Partielle Integration von Produkten aus Monomen und Exponentialfunktionen
(i) Unbestimmtes Integral:
(d/dx ) e
x= e
x= ⇒
R x
ne
xdx = x
ne
x− R
nx
n−1e
xdx
f g
0f g f
0g
partielle Integration gleicher Typ erneute partielle Integration
− Z
nx
n−1e
xdx = −nx
n−1e
x+ Z
n(n − 1)x
n−2e
xdx
= −nx
n−1e
x+ n(n − 1)x
n−2e
x− Z
n(n − 1)(n − 2)x
n−3e
xdx = . . . Hinzuf¨ ugen des Terms x
ne
x= ⇒ R
x
ne
xdx = P
nk=0
(−1)
n−k n!k!x
k+ c
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(ii) Bestimmtes Integral:
konkreter Fall eines quadratischen Polynoms R
10
(x
2− 3x + 1) e
xdx = [ (x
2− 3x + 1) e
x]
x=1x=0− R
10
(2x − 3) e
xdx
f g
0f g f
0g
erster Term
[fg ]
x=1x=0= (1 − 3 + 1)e
1− (0 − 0 + 1)e
0= −e − 1 zweiter Term, berechnet mit erneuter partieller Integration
− Z
10
f
0g = −
[(2x − 3)e
x]
x=1x=0− Z
10
2e
xdx
= −
(−e + 3) − 2[e
x]
x=1x=0= e − 3 + 2e − 2 = 3e − 5 Summe der Terme R
10
fg
0= 2e − 6
(iii) Produkte mit trigonometrischen Funktionen:
R x
ncos x sin x
dx = x
nsin x
− cos x
− R
nx
n−1cos x sin x
dx
f g
0f g f
0g
Beispiel
Paradox bei partieller Integration
(d/dx ) e
x= e
x, (d/dx ) cosh x = sinh x , (d/dx ) sinh x = cosh x partielle Integration R
fg
0= fg − R
f
0g mit
(1) f = e
x, g
0= sinh x und (2) f = e
x, g
0= cosh x = ⇒ Z
e
xsinh x dx =
(1)
e
xcosh x − Z
e
xcosh x dx
=
(2)
e
xcosh x − e
xsinh x + Z
e
xsinh x dx (vermeintlicher) Widerspruch: e
xcosh x = e
xsinh x
Erkl¨ arung: Identit¨ at zwischen Stammfunktionen beinhaltet (unbestimmte) Integrationskonstante c
c = 1 = ⇒
e
xe
x+ e
−x2
| {z }
coshx
= e
xe
x− e
−x2
| {z }
sinhx
+c X
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Beispiel
Integration von e
axsin(bx ) und e
axcos(bx ) mit alternativen Methoden (i) Zweimalige partielle Integration:
I = R
e
axsin(bx ) dx = e
axa sin(bx ) − R e
axa b cos(bx ) dx
f
0g f g f g
0nochmalige partielle Integration mit f
0= e
ax/a und g = b cos(bx ) I = e
axa sin(bx ) − b a
e
axa cos(bx ) − b
2a
2Z
e
axsin(bx) dx
| {z }
I
Aufl¨ osen nach I I =
Z
e
axsin(bx ) dx = ae
axsin(bx ) − be
axcos(bx) a
2+ b
2+ c
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(ii) Komplexe Methode:
Formel von Euler-Moivre, e
it= cos t + i sin t = ⇒ cos t = Re (exp(it)) Anwendung auf den kontreten Integrand e
tcos t
Z
π 0e
tcos(t) dt = Re Z
π0
exp(t + it) dt
= Re
exp(t + it) 1 + i
t=π t=0= Re
e
π+iπ− e
0+01 + i
e
iπ= −1, Erweitern mit 1 − i, (1 + i)(1 − i) = 1 + 1 = 2 Re
−e
π− 1 1 + i
= Re
−e
π− 1 2 (1 − i)
= − e
π+ 1 2
Beispiel
Orthogonalit¨ at trigonometrischer Funktionen
kein Randterm bei partieller Integration periodischer Funktionen ¨ uber Periodizit¨ atsintervalle [a, b] d.h. R
ba
f
0g = − R
b afg
0Anwendung auf Produkte von Sinus und Kosinus, z.B.
I = R
π−π
sin(nx ) sin(mx ) dx = − R
π−π
(− cos(nx)/n) (m cos(mx)) dx
f
0g f g
0erneute partielle Integration mit f
0= − cos(nx)/n, g = m cos(mx ) I =
Z
π−π
(− sin(nx )/n
2)(−m
2sin(mx)) dx = m
2n
2I
= ⇒
Z
π−π
sin(nx ) sin(mx ) dx = 0, m 6= n
m = n: Identit¨ at nach der ersten partiellen Integration, R
π−π
sin
2(nx) dx = R
π−π
cos
2(nx) dx , und cos
2(nx) = 1 − sin
2(nx ) = ⇒ 2
Z
π−π
sin
2(nx) dx = Z
π−π
1 dx = 2π analoges Argument Orthogonalit¨ at von cos(nx)
29 / 87
Delta-Funktion
Die Diracsche Delta-Funktion δ ist durch Z
R
δf = f (0)
definiert, wobei f eine beliebige stetige Funktion ist, die ausserhalb eines Intervalls (a, b) verschwindet.
Mit Hilfe von partieller Integration oder ¨ uber einen Grenzwertprozess kann δ als verallgemeinerte Ableitung der Heavisideschen Sprungfunktion
H (x ) =
( 1, f¨ ur x > 0 0, sonst interpretiert werden.
30 / 87
Beweis
(i) Begr¨ undung mit Hilfe von partieller Integration:
0 ∈ (a, b), f (a) = 0 = f (b) = ⇒ Z
ba
H
0f = [Hf ]
ba| {z }
=0
− Z
ba
Hf
0= − Z
b0
f
0= −[f ]
b0= f (0)
f beliebig R
H
0f = R δf
-1 0 1
0 2 4
-1 0 1
0 2 4
Heaviside-Funktion H N¨ aherungen H
n, δ
n= H
n0(ii) Begr¨ undung mit Hilfe eines Grenzwertprozesses:
Z
b aH
n0f = n Z
1/n0
f = f (t
n)
f¨ ur ein t
n∈ [0, 1/n] aufgrund des Mittelwertsatzes
Stetigkeit von f = ⇒ f (t
n) → f (0)
Variablensubstitution Aus der Kettenregel
d
dx F (g(x )) = f (g(x ))g
0(x ), f = F
0,
folgt f¨ ur eine Substitution y = g (x) durch Bilden von Stammfunktionen Z
f (g(x ))g
0(x ) dx = F (y ) + c = Z
f (y ) dy . Entsprechend gilt f¨ ur bestimmte Integrale
Z
b af (g (x ))g
0(x ) dx = F (g (b)) − F (g (a)) = Z
g(b)g(a)
f (y ) dy Mit Hilfe von Differentialen l¨ asst sich diese Identit¨ at in der suggestiven
Form Z
ba
f (g(x )
| {z }
y
) dy dx dx =
Z
g(b) g(a)f (y ) dy schreiben.
33 / 87
Beispiel
Variablensubstitution bei erkennbarer innerer Ableitung (i) Unbestimmtes Integral:
z.B. Z
(ln x )
2(1/x ) dx = Z
f (g (x )) g
0(x ) dx mit f (y ) = y
2, y = g (x ) = ln x , g
0(x ) = 1/x
Substitutionsregel R
f (g (x ))g
0(x ) dx = R
f (y ) dy Z
y
2dy = 1 3 y
3+ c R¨ ucksubstitution y = g (x ) = ln x
Z ln x
2x dx = 1
3 (ln x )
3+ c
34 / 87
(ii) Bestimmtes Integral:
z.B.
Z
π/2 0√
sin x cos x dx = Z
ba
f (g (x )) g
0(x ) dx mit f (y ) = √
y , y = g (x ) = sin x , g
0(x ) = cos x Bilder von a = 0, b = π/2 unter der Abbildung x 7→ y :
g (a) = sin(0) = 0, g (b) = sin(π/2) = 1 transformiertes Integral
Z
g(b) g(a)f (y ) dy = Z
10
√ y dy = 2
3 y
3/2 10
= 1 − 0 = 1
Beispiel
Stammfunktion F (y ) von (e
y− 1)
−1f¨ ur y > 0 (Pol bei y = 0) Substituiere y = g (x ) = ln x ⇐⇒ x = e
yim unbestimmten Integral
Z
f (y ) dy = Z 1
e
y− 1 dy Transformationsregel, dy =
1xdx = ⇒
Z
f (y ) dy = Z
f (g (x )) g
0(x )
| {z }
dy/dx
dx = Z 1
x − 1 1 x dx =
Z 1 (x − 1)x dx Partialbruchzerlegung
(x−1)x1= −
1x+
x−11− ln |x | + ln |x − 1| + c = ln
x − 1 x
+ c = ln |1 − 1/x | + c R¨ ucksubstitution von x = e
yStammfunktion
F (y ) = ln |1 − 1/e
y| = ln |1 − e
−y|
Beispiel
Lineare Variablensubstitution
y = px + q
(i) Unbestimmtes Integral R
(2x − 3)
4| {z }
f(x)
dx : y = 2x − 3, dy = 2 dx
Z
(2x − 3)
4(dx /dy ) dy = Z
y
4(1/2) dy = 1
5 · 2 y
5+ c R¨ ucksubstitution Stammfunktion
F (x ) = 1 10 y
5y=2x−3
= (2x − 3)
510
37 / 87
(ii) Bestimmtes Integral Z
0−1
1
(3 − 4x )
2dx : Umrechung der Differentiale
y = 3 − 4x , dy = −4 dx und Transformation der Grenzen
x = −1 7→ y = 3 − 4 · (−1) = 7, x = 0 7→ y = 3 − 4 · 0 = 3
Z
0−1
1
(3 − 4x )
2(dx /dy ) dy = Z
37
(1/y
2) (−1/4) dy
= [(−1/y ) (−1/4)]
y=3y=7= 1
4 · 3 − 1 4 · 7 = 1
21
38 / 87
Beispiel
Unbestimmtes und bestimmtes Integral von f (x ) = 1/ p
x
2− 6x + 5 Umformung durch quadratische Erg¨ anzung
x
2− 6x + 5 = (x − 3)
2− 4 = 4 ((x − 3)/2)
2− 1 f (x ) = 1
2
1
p ((x − 3)/2)
2− 1 (i) Unbestimmtes Integral R
f (x ) dx : Substitution y = (x − 3)/2, dx = 2dy
Z
f (x ) dx =
Z dx
√ x
2− 6x + 5 =
Z dy p y
2− 1
Substitution y = cosh t, dy = sinh t dt Z dy
p y
2− 1 =
Z sinh t dt sinh t =
Z
dt = t + c
= arcosh y + c = arcosh((x − 3)/2) + c
= ln
x − 3 2 + 1
2
p x
2− 6x + 5
+ c
(benutzt: cosh
2t − 1 = sinh
2t, Formel f¨ ur die Umkehrfunktion von cosh) (ii) Beispiel eines bestimmten Integrals:
Z
7 5√ dx
x
2− 6x + 5 =
ln
x − 3 2 + 1
2
p x
2− 6x + 5
75
= ln(4/2 + √
12/2) − ln(2/2 + √ 0/2)
= ln(2 + √
3) − ln 1 = ln(2 + √
3)
Beispiel
Verschiedene Berechnungsmethoden f¨ ur R
1 0√ 1 − x
2dx (i) Geometrisches Argument:
f (x ) = √
1 − x
2≥ 0 f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1
= ⇒ R
f (x ) dx : Inhalt der Fl¨ ache A (Viertelkreis) unter dem Funktionsgraph
= ⇒ R
10
f (x ) dx = π/4 (ii) Substitution x = sin u:
dx = cos u du und x = 0 7→ u = 0, x = 1 7→ u =
π2= ⇒ Z
10
f (x ) dx = Z
π/20
p 1 − sin
2u
| {z }
cosu
cos u du = 1 2
π 2
41 / 87
(iii) Substitution x = cos u:
dx = − sin u du und x = 0 7→ u = −π/2, x = 1 7→ u = 2π
(ebenfalls m¨ oglich u = 0 bzw. u = 2kπ; Eindeutigkeit des Urbildes der Transformationsabbildung nicht erforderlich - gleiche Resultate)
= ⇒ Z
1 0f (x ) dx = Z
10
p 1 − cos
2u (− sin u) du =
(∗)
Z
2π−π/2
− sin
2u du = − 5π 4 (*) falsche Berechnung der Wurzel
richtig: √
1 − cos
2u = | sin u| korrektes Ergebnis Z
10
f (x ) dx = Z
2π−π/2
| sin u|(− sin u) du
= Z
0−π/2
− sin
2u du + Z
π/20
sin
2u du − · · ·
= π
4
42 / 87
Beispiel
Mercator-Projektion:
winkeltreue Abbildung der Erdoberfl¨ ache auf eine Ebene (x , sin ϑ) 7→
x cos ϑ ,
Z
ϑ 0dt cos t
Streckung der Breitenkreise mit dem Faktor 1/ cos ϑ
Bestimmung einer Stammfunktion F f¨ ur f (t) = 1/ cos t Substitution
u = 1
cos t + tan t = 1 + sin t
cos t , du = sin t
cos
2t + 1 cos
2t
dt
= ⇒
Z 1
cos t dt = Z
(cos t)
−1sin t
cos
2t + 1 cos
2t
−1du
| {z }
dt
= Z
sin t cos t + 1
cos t
−1du
=
Z du
u = ln |u| + c
= ln
1
cos t + tan t
+ c
Elementare rationale Integranden mit einfachen Polstellen Die Stammfunktionen der drei Grundtypen rationaler Funktionen sind
Z dx
ax + b = 1
a ln |x + b/a| + c Z dx
(x − a)
2+ b
2= 1 b arctan
x − a b
+ c Z (x − a) dx
(x − a)
2+ b
2= 1
2 ln((x − a)
2+ b
2) + c
45 / 87
Beweis
Uberpr¨ ¨ ufung der Stammfunktionen durch Differenzieren alternativ: Umformung der Integranden
(i) R
dy /y = ln |y | + c = ⇒ Z dx
ax + b = 1 a
Z dx
x + b/a = 1
a ln |x + b/a| + c (ii) Umformung
Z dx
(x − a)
2+ b
2= 1 b
2Z dx ((x − a)/b)
2+ 1 Substitution y = (x − a)/b, dx = b dy
1 b
Z dy y
2+ 1 = 1
b arctan y + c = 1 b arctan
x − a b
+ c
46 / 87
(iii) Substitution y = (x − a)
2+ b
2, dx = dy /(2(x − a)) Z (x − a) dx
(x − a)
2+ b
2= 1 2
Z dy y = 1
2 ln |y | + c
= 1
2 ln((x − a)
2+ b
2) + c
Beispiel
Fl¨ achen begrenzt durch rationale Funktionsgraphen (i) r(x ) = 2 − x
1 + x :
Umformung r(x ) = −1 − x 1 + x + 3
1 + x = −1 + 3 1 + x Summe der Stammfunktionen der elemen-
taren Ausdr¨ ucke Stammfunktion R (x ) = −x + 3 ln |1 + x | r(2) = 0 Fl¨ acheninhalt Z
20
r(x ) dx = [R(x )]
x=2x=0= (−2 + 3 ln 3) − (−0 + 3 ln 1)
= −2 + 3 ln 3
-1 0 1 2 3
0
1
2
3
(ii) r (x ) = 1 x
2+ 1 :
-4 -2 0 2 4
-1 0 1
Fl¨ acheninhalt: Grenzwert der Fl¨ acheninhalte von {(x , y ) : 0 ≤ y ≤ r (x ), −a ≤ x ≤ a}
a→∞
lim Z
a−a
dx
1 + x
2= lim
a→∞
(arctan a − arctan(−a))
= π
2 + π 2 = π
49 / 87
Beispiel
Berechnung der Stammfunktion von
r(x ) = 3x + 6 2x
2− 4x + 10 quadratische Erg¨ anzung des Nenners
2(x
2− 2x + 5) = 2((x − 1)
2+ 2
2) Anpassung des Z¨ ahlers
3(x + 2) = 3((x − 1) + 3) Zerlegung in Standardausdr¨ ucke:
r(x ) = 3 2
x − 1
(x − 1)
2+ 2
2+ 9 2
1 (x − 1)
2+ 2
250 / 87
Stammfunktionen der elementaren Integranden Z
r (x ) dx = 3
4 ln ((x − 1)
2+ 4) + 9 4 arctan
x − 1 2
+ c
Berechnung eines bestimmten Integrals durch Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion
z.B.
Z
3 1r(x ) dx = 3 4
ln((x − 1)
2+ 4)
x=3 x=1+ 9
4
arctan
x − 1 2
x=3 x=1= 3
4 (ln 8 − ln 4) + 9
4 (arctan 1 − arctan 0)
= 3
4 ln 2 + 9 16 π
Elementare rationale Integranden mit mehrfachen Polstellen F¨ ur n ∈ N ist
Z
(x − a)
−n−1dx = − 1
n (x − a)
−n+ c . Bei mehrfachen komplex konjugierten Polstellen a ± ib mit dem entsprechenden quadratischen Faktor q(x ) = (x − a)
2+ b
2gilt
Z c (x − a) + d
q(x )
n+1dx = − c
2n q(x )
n+ d (x − a)
2b
2n q(x )
n+ d (2n − 1) 2b
2n
Z dx q(x )
n. Die Reduktion des Exponenten von q (n + 1 → n) erm¨ oglicht eine
rekursive Berechnung der Stammfunktion.
Beweis
(i) Reelle Polstelle:
Substitution y = x − a, dx = dy Z
(x − a)
−n−1dx = Z
y
−n−1dy = − 1
n y
−n+ c (ii) Komplex konjugierte Polstellen, erster Term:
Substitution y = (x − a)
2+ b
2, dx = dy /(2(x − a)) Z c (x − a)
((x − a)
2+ b
2)
n+1dx = c 2
Z dy
y
n+1= − c 2ny
n= − c
2n((x − a)
2+ b
2)
n53 / 87
(iii) Komplex konjugierte Polstellen, zweiter Term:
zu zeigen
Z d dx
q(x )
n+1= d (x − a)
2b
2nq(x )
n+ d (2n − 1) 2b
2n
Z dx q(x )
nmit q(x ) = (x − a)
2+ b
2Division durch d und Substitution y = (x − a)/b, dy = dx /b
¨ aquivalente Identit¨ at Z b dy
(b
2y
2+ b
2)
n+1= by
2b
2n(b
2y
2+ b
2)
n+ 2n − 1 2b
2n
Z b dy (b
2y
2+ b
2)
nbzw. nach Multiplikation mit b
2n+1Z dy
(y
2+ 1)
n+1= y
2n(y
2+ 1)
n+ 2n − 1 2n
Z dy (y
2+ 1)
n54 / 87
Beweis durch partielle Integration des letzten Terms:
Z
1 · 1 (y
2+ 1)
ndy
= y · 1 (y
2+ 1)
n+
Z
y · 1 · 2ny (y
2+ 1)
n+1dy
= y
(y
2+ 1)
n+ 2n
Z dy (y
2+ 1)
n−
Z dy (y
2+ 1)
n+1(y
2= (y
2+ 1) − 1) Aufl¨ osen nach R
dy /(y
2+ 1)
n+1behauptete Identit¨ at
Beispiel
Berechnung von
Z 2x + 1 (x
2+ 9)
2dx
Formel f¨ ur Integranden mit mehrfachen komplex konjugierten Polstellen Z c(x − a) + d
q(x )
n+1dx = − c
2n q(x )
n+ d (x − a)
2b
2n q(x )
n+ d (2n − 1) 2b
2n
Z dx q(x )
nmit q(x ) = (x − a)
2+ b
2Einsetzen von a = 0, b = 3, c = 2, d = 1 und n = 1
− 2
2(x
2+ 9) + x
18(x
2+ 9) + 1 18
Z 1 x
2+ 9 dx Zusammenfassen der ersten beiden Terme und die Formel Z dx
(x − a)
2+ b
2= 1 b arctan
x − a b
+ c mit a = 0, b = 3 x − 18
18(x
2+ 9) + 1 18
1
3 arctan(x /3) + c
Integration rationaler Funktionen
Durch reelle Partialbruchzerlegung l¨ asst sich eine reelle rationale Funktion als Summe der drei elementaren Grundtypen
ax
n, c
(ax + b)
n, c(x − a) + d ((x − a)
2+ b
2)
nmit n ∈ N a, b, c, d ∈ R darstellen. Mit Hilfe der Stammfunktionen f¨ ur diese Grundfunktionen k¨ onnen somit die Stammfunktionen f¨ ur beliebige rationale Funktionen bestimmt werden.
57 / 87
Beispiel
Berechnung von Z
r(x ) dx , r(x ) = x
5+ 10x
3+ 5x
2− x + 25 x
4+ 8x
2− 9 mit Hilfe von Partialbruchzerlegung
Polynomdivision
r (x ) = x + 2x
3+ 5x
2+ 8x + 25 x
4+ 8x
2− 9 Faktorisierung des Nenners
x
4+ 8x
2− 9 = (x + 1)(x − 1)(x
2+ 9)
58 / 87
Ansatz
r(x ) − x = a
x + 1 + b
x − 1 + cx
x
2+ 9 + d x
2+ 9 Multiplikation mit dem Hauptnenner
2x
3+ 5x
2+ 8x + 25 =
a(x − 1)(x
2+ 9) + b(x + 1)(x
2+ 9) + (cx + d )(x
2− 1) Koeffizienten-Vergleich = ⇒ a = −1, b = 2, c = 1 und d = 2 Stammfunktionen der Grundfunktionen
Z x
5+ 10x
3+ 5
2− x + 25 x
4+ 8x
2− 9 = Z
x dx − Z dx
x + 1 +
Z 2dx x − 1 +
Z x dx x
2+ 9 +
Z 2dx x
2+ 9 = 1
2 x
2− ln |x + 1| + 2 ln |x − 1| + 1
2 ln(x
2+ 9) + 2
3 arctan x 3
+ c
Integration komplexer trigonometrischer Polynome
Aus Z
e
ikxdx = 1
ik e
ikx+ c, 0 6= k ∈ Z , folgt f¨ ur ein komplexwertiges trigonometrisches Polynom p
Z X
|k|≤n
c
ke
ikx| {z }
p(x)
dx = c + c
0x + X
06=|k|≤n
c
kik e
ikxsowie Z
π−π
p = 2πc
0. Mit Hilfe der Formeln von Euler-Moivre,
cos t = e
it+ e
−it2 , sin t = e
it− e
−it2i ,
k¨ onnen auf diese Weise auch beliebige Polynome in sin(kx ) und cos(kx )
integriert werden.
Beispiel
Berechnung von Z
π−π
sin
4x
| {z }
p(x)
= dx (i) Komplexe Methode:
Formel von Euler-Moivre, binomische Formel Integrand 1
2i e
ix− e
−ix4
= 1
(2i)
44
X
k=0
4 k
e
(4−k)ixe
−kix= 1
16 4
2
e
2ixe
−2ix| {z }
Term f¨urk=2
+ 1 16
X
`6=0
c
`e
i`x= 6
16 + 1 16
X
`6=0
c
`e
i`xR
π−π
P
`
c
`e
i`xdx = 2πc
0Integral 2π · 6/16 = 3π/4
61 / 87
(ii) Partielle Integration:
Z
sin
4x dx = Z
sin x sin
3x dx
= (− cos x ) sin
3x − 3 Z
(− cos x )(sin
2x ) cos x dx
=
∗− cos x sin
3x + 3 Z
sin
2x dx − 3 Z
sin
4x dx , (*) − cos x sin
2x cos x = − cos
2x sin
2x = −(1 − sin
2x) sin
2x Aufl¨ osen nach R
sin
4Z
π−π
sin
4x dx = 1 4
− cos x sin
3x
π−π
+ 3 4
Z
π−π
sin
2x dx = 0 + 3π/4
62 / 87
Trigonometrische Substitutionen
Mit Hilfe der folgenden Substitutionen lassen sich eine Reihe von elementaren algebraischen Integranden explizit berechnen:
x = a sin t : dx = a cos t dt √
a
2− x
2= a cos t x = a tan t : dx = a/ cos
2t dt √
a
2+ x
2= a/ cos t x = a/ cos t : dx = a sin t/ cos
2t dt √
x
2− a
2= a tan t Gegebenenfalls m¨ ussen die Argumente der Wurzel zun¨ achst durch quadratische Erg¨ anzung auf Standardform gebracht werden.
Beispiel
Alternative Berechnungsmethoden f¨ ur Z
1/20
p 1 − x
2dx (i) Trigonometrische Substitution:
x = sin t, dx = cos t dt, x = 0 → t = 0, x = 1/2 → t = π/6 p 1 − sin
2t = cos t, cos
2t = (1 + cos(2t))/2, sin(π/3) = √
3/2 Z
π/60
cos
2t dt = h 1
2 (t + sin(2t)/2)
| {z }
G(t)
i
π/6 0= π 12 +
√ 3 8
R¨ ucktransformation von G (t), sin(2t)/2 = sin t cos t = sin t p
1 − sin
2t Stammfunktion
Z p
1 − x
2dx = 1
2 arcsin x + x 2
p 1 − x
2+ c
(ii) Geometrisches Argument:
Fl¨ ache unter dem Graph von f (x ) = √
1 − x
2: Summe der Teilfl¨ achen A und B
Dreieck
area A = x p
1 − x
2/2 Kreissektor mit
Offnungswinkel ¨ t (x = sin t) area B = t/2 = 1
2 arcsin x
gleiche Stammfunktion F (x ) = area A + area B
65 / 87
Beispiel
Integration von f (x ) = 1 x √
1 + x
2(i) Unbestimmtes Integral
Z
√3
1
dx x √
1 + x
2:
trigonometrische Substitution x = tan t, dx = 1/ cos
2t dt Z dt/ cos
2t
tan t/ cos t = Z dt
sin t = ln | tan t 2 | + c benutzt: √
1 + x
2= 1/ cos t, (*) Formel f¨ ur die Stammfunktion von 1/ sin R¨ ucksubstitution = ⇒
Z dx x √
1 + x
2= ln | tan((arctan x )/2)| + c (*) Verifikation durch Differentiation:
d
dy
ln |y | = 1/y ,
dzdtan z = 1/ cos
2z = ⇒ d
dt ln | tan(t/2)| = 1 tan(t/2)
1/2
cos
2(t/2) = 1
2 sin(t/2) cos(t/2) = 1 sin t X
66 / 87
(ii) Bestimmtes Integral Z
√3
1
dx x √
1 + x
2: Verwendung der berechneten Stammfunktion [ln | tan((arctan x )/2)|]
x=√3
x=1
= ln | tan(π/6)| − ln | tan(π/8)|
= ln |1/ √
3| − ln |1/(1 + √
2)| = ln 1 + √
√ 2 3
!
Berechnung von tan(π/8) mit Hilfe der Diagonale einer Raute mit spitzem Winkel π/4
= ⇒ tan(π/8) = y /x = (1/ √
2)/(1/ √
2 + 1) =
11+√ 2
Beispiel
Stammfunktion von f (x ) = p
x
2− 1/x
3, x ≥ 1
(i) Trigonometrische Substitution x = 1/ cos t, 0 ≤ t < π/2:
t = arccos(1/x ), dx = sin t/ cos
2t dt, p
x
2− 1 = tan t Einsetzen in das Integral
Z
f (x ) dx = Z
x
−3p
x
2− 1 dx = Z
cos
3t tan t sin t cos
2t dt =
Z
sin
2t dt Stammfunktion von sin
2t: (t − cos t sin t)/2 ( ¨ Uberpr¨ ufung durch
Differenzieren)
F (x ) = (t − cos t sin t
√
|{z}
1−cos2t
)/2 =
arccos(1/x ) − (1/x ) q
1 − 1/x
2/2
= 1
2 arccos(1/x ) − 1 2
p x
2− 1/x
2(ii) Bestimmtes Integral Z
√ 2 1
p x
2− 1/x
3dx : Einsetzen in die Stammfunktion
1
2 arccos(1/x ) − 1 2
p x
2− 1/x
2 x=√2 x=1
1
2 arccos(1/
√ 2) − 1
2
√
2 − 1/2
− 1
2 arccos 1 − 1 2
√
1 − 1/2
(π/8 − 1/4) − (0 − 0) = (π − 2)/8
69 / 87
Rationale Funktionen von Sinus und Kosinus
Mit der Substitution
x = tan(t/2), −π < t < π erh¨ alt man f¨ ur eine beliebige rationale Funktion r
Z
r (cos t, sin t) dt = Z
r
1 − x
21 + x
2, 2x
1 + x
22
1 + x
2dx . Damit l¨ asst sich ein trigonometrischer in einen rationalen Integranden
¨ uberf¨ uhren, der mit Partialbruchzerlegung berechnet werden kann.
70 / 87
Beweis
Satz des Pythagoras cos(t/2) = 1/ √
1 + x
2sin(t/2) = x / √
1 + x
2(d/du) tan u = 1/ cos
2u = ⇒ dx = 1
2 1
cos
2(t/2) dt = 1
2 (1 + x
2) dt und Anwendung der Additionstheoreme f¨ ur Sinus und Kosinus
cos t = cos
2(t/2) − sin
2(t/2) = 1 − x
21 + x
2, sin t = 2 cos(t/2) sin(t/2) = 2x
1 + x
2Beispiel
Umwandlung von Z dt
sin t , Z dt
cos t in rationale Integrale
Substitution x = tan(t/2), dt = 2 dx /(1 + x
2), sin t = 2x /(1 + x
2) Z 1 + x
22x 2
1 + x
2dx = Z dx
x = ln |x | + c = ln | tan(t/2)| + c analog: cos t = (1 − x
2)/(1 + x
2), Partialbruchzerlegung
Z dt cos t =
Z 1 + x
21 − x
22
1 + x
2dx = Z
1
1 − x + 1 1 + x
dx = ln
1 + x 1 − x
+c R¨ ucksubstitution
Z dt cos t = ln
1 + tan (t/2) 1 − tan (t/2)
+ c
Beispiel
Stammfunktion von f (t) = 1 1 + sin t − cos t (i) Trigonometrische Substitution:
x = tan(t/2), dt = 2dx /(1 + x
2), sin t = 2x /(1 + x
2), cos t = (1 − x
2)/(1 + x
2)
Z
f (t) dt =
Z 1
1 + 2x/(1 + x
2) − (1 − x
2)/(1 + x
2) 2 1 + x
2dx
=
Z 1 x
2+ x dx (ii) Partialbruchzerlegung:
Ansatz
r (x ) = 1
x (x + 1) = a x + b
x + 1
∗x und x = 0 = ⇒ a = 1
∗(x + 1) und x = −1 = ⇒ b = 1
73 / 87
(iii) Bilden der Stammfunktionen:
r(x ) = 1/x − 1/(x + 1)
R (x ) = ln |x | − ln |x + 1| = ln
x x + 1
R¨ ucktransformation (x = tan(t/2), 1/x = cot(t/2))
F (t) = ln
tan(t/2) tan(t/2) + 1
= ln
1 1 + cot(t/2)
74 / 87
Uneigentliche Integrale
F¨ ur eine auf [a, b) st¨ uckweise stetige Funktion f wird durch Z
ba
f = lim
c→b−
Z
c af
der Integralbegriff auf unendliche Intervalle (b = ∞) und unbeschr¨ ankte Integranden (f (b) = ±∞) erweitert.
Analog wird eine Singularit¨ at an der unteren oder an beiden Grenzen behandelt. Im letzteren Fall muss der Grenzwert unabh¨ angig von der Wahl der Folgen c → a
+, d → b
−sein.
Hinreichend f¨ ur die Existenz eines uneigentlichen Integrals ist die absolute Intergrierbarkeit von f , d. h.
Z
dc
|f (x )| ≤ const f¨ ur alle Teilintervalle [c, d ] ⊂ (a, b).
Beispiel
Berechnung des uneigentlichen Integrals Z
∞0
e
−xdx
Grenzwert
b→∞
lim Z
b0
e
−xdx = lim
b→∞
−e
−xx=b x=0= lim
b→∞
−e
−b+ 1
= 1 direkte Verwendung uneigentlicher Grenzen bei elementaren Grenzwerten:
Z
∞ 0e
−xdx = [−e
−x]
x=∞x=0= 0 − (−1) = 1
Beispiel
Existenz des uneigentlichen Integrals Z
∞2
1
x (ln x )
rdx , r ∈ R \0
Substitution y = ln x , dy = dx /x , x = 2 7→ y = ln 2, x = ∞ 7→ y = ∞
Z
lnb ln 21 y
rdy =
(ln y )
1−r1 − r
y=lnb y=ln 2= (ln b)
1−r− (ln 2)
1−r1 − r , r 6= 1 [ln y ]
y=lny=ln 2b= ln(ln b) − ln(ln 2) , r = 1 Grenzwert f¨ ur b → ∞ existiert genau dann wenn r > 1:
Z
∞ 21
x (ln x )
rdx = (ln 2)
1−rr − 1
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Beispiel
Berechnung des uneigentlichen Integrals Z
π/20
sin x
√ cos x dx
Singularit¨ at bei x = π/2 betrachte obere Grenze b < π/2 Substitution y = cos x , dy = − sin x dx , x = 0 7→ y = 1,
x = b 7→ y = cos b Z
cosb1
y
−1/2(−dy ) = h
−2y
1/2i
y=cosby=1
= −2 √
cos b + 2 Grenzwert
Z
π/2 0sin x
√ cos x dx = lim
b→π/2
Z
b 0sin x
√ cos x dx = lim
b→π/2
−2 √
cos b + 2
= 2
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Beispiel
Analyse des uneigentlichen Integrals Z
∞−∞
1 + 2x 1 + x
2dx
Stammfunktion des Integranden: arctan(x ) + ln(1 + x
2) (i) Falsche Berechnung:
Z
∞−∞
1 + 2x
1 + x
2dx = lim
b→∞
Z
b−b
1 + 2x 1 + x
2dx
= lim
b→∞
arctan(x ) + ln(1 + x
2)
x=b x=−b= lim
b→∞
(2 arctan(b)) = π (arctan(−b) = − arctan(b), ln(1 + b
2) = ln(1 + (−b)
2))
(ii) Korrekte Argumentation:
unabh¨ angige Betrachtung der unteren und oberen Grenze Z
0c
1 + 2x
1 + x
2dx =
arctan x + ln(1 + x
2)
x=0 x=c= (arctan 0 + ln 1) − (arctan c + ln(1 + c
2)
= − arctan(c ) − ln(1 + c
2) Z
d0
1 + 2x
1 + x
2dx = arctan(d ) + ln(1 + d
2) c → −∞, d → ∞
= ⇒ keine endlichen Grenzwerte in beiden F¨ allen
= ⇒ Divergenz des uneigentlichen Integrals Z
∞−∞
1 + 2x
1 + x
2dx
Vergleichskriterium f¨ ur uneigentliche Integrale
Ist g eine Majorante f¨ ur f , d.h. gilt
|f (x )| ≤ |g (x )| a < x < b
so folgt aus der absoluten Integrierbarkeit von g die absolute
Integrierbarkeit von f ¨ uber dem Intervall [a, b] und damit die Existenz des Integrals
Z
b af (x ) dx .
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Beweis
betrachte o.B.d.A. eine Singularit¨ at an der oberen Grenze:
R
ba
f = lim
c→b−R
c af
r (c) = Z
ca
|f | monoton wachsend, beschr¨ ankt durch R
ba
|g|
= ⇒ Konvergenz f¨ ur c → b
−und Existenz von R
ba
|f | s (c) =
Z
c a(f + |f |
| {z }
≥0
)
ebenfalls monoton wachsend, beschr¨ ankt durch 2 R
b a|g |
= ⇒ Existenz von R
ba
(f + |f |) Subtraktion = ⇒ Existenz von
Z
ba
f = Z
ba
(f + |f |) − Z
ba
|f |
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Beispiel
Vergleichsfunktion f (x ) = x
rZ
b ax
rdx =
b
r+1− a
r+1r + 1 , r 6= −1 ln(b) − ln(a), r = −1
, 0 < a < b < ∞ (i) b → ∞:
Konvergenz f¨ ur r < −1 Existenz von Z
∞1
x
rdx , r < −1, Grenzwert : − 1 r + 1 (ii) a → 0
+:
Konvergenz f¨ ur r > −1 Existenz von Z
10
x
rdx , r > −1, Grenzwert : 1 r + 1
Beispiel
Existenz des uneigentlichen Integrals R
∞0
(sin x )/x dx Aufspaltung in zwei Anteile: R
∞0
. . . = R
10
. . . + R
∞ 1. . .
Existenz des Integrals ¨ uber [0, 1] wegen Stetigkeit des Integranden Umformung des Integrals ¨ uber [1, ∞] mit partieller Integration
Z
b 1sin(x ) x dx =
− cos(x ) x
b 1− Z
b1
cos(x ) x
2dx erster Term → cos(1) f¨ ur b → ∞
zweiter Term: Integrand majorisiert durch
cos(x ) x
2≤
1 x
2= ⇒ Konvergenz nach dem Vergleichskriterium Methoden der Fourier-Analysis
Z
∞ 0sin(x )
x dx = π
2
Gamma-Funktion Die durch
Γ(x ) = Z
∞0
t
x−1e
−tdt, x ∈ (0, ∞) , definierte Gamma-Funktion erf¨ ullt die Funktionalgleichung
Γ(x + 1) = x Γ(x ) . Insbesondere ist Γ(n + 1) = n!, n ∈ N .
-5 0 5
-10 0 10
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Mit Hilfe der Funktionalgleichung l¨ asst sich die Gamma-Funktion auch f¨ ur negative Argumente definieren. Wie aus dem abgebildeten
Funktionengraphen ersichtlich ist, besitzt sie einfache Pole f¨ ur x = 0, −1, . . ..
Eine alternative Definition der Gamma-Funktion wurde von Gauß gegeben:
Γ(x ) = lim
n→∞
n!n
xx (x + 1) · · · (x + n) .
Diese Identit¨ at erm¨ oglicht ebenfalls die Berechnung von Γ f¨ ur negative Argumente.
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Beweis
(i) Existenz des Integrals:
Konvergenz von R
10
f nach dem Vergleichskriterium (x > 0) f (x ) = t
x−1e
−t≤ t
x−1Konvergenz von R
∞1
f ebenfalls nach dem Vergleichskriterium f (x ) ≤ t
−2⇐⇒ t
x+1≤ e
terf¨ ullt f¨ ur t ≥ n! mit n ≥ x + 2
Begr¨ undung mit Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
t
x+1≤ t
n−1≤ t
n/n! ≤ e
t(ii) Funktionalgleichung:
partielle Integration Γ(x + 1) =
Z
∞ 0t
xe
−tdt =
−t
xe
−t∞ 0+
Z
∞ 0xt
x−1e
−tdt
= 0 + x Z
∞0