Mit f(y) =z,g(x) =y,h(x) =z schreibt man auch dz dx = dz dy dy dx

Kettenregel

F¨ur die Verkettung von Funktionen,

h(x) = (f ◦g) (x) =f g(x) , ist die Ableitung

h⁰(x) =f⁰(g(x))g⁰(x). Mit f(y) =z,g(x) =y,h(x) =z schreibt man auch

dz dx = dz

dy dy dx.

Beweis

Definition der Ableitung =⇒ d

dx(f(g(x))) = lim

h→0

f(g(x+h))−f(g(x)) h

= lim

h→0

f(g(x+h))−f(g(x)) g(x+h)−g(x)

g(x+h)−g(x) h

h˜=g(x+h)−g(x) und limh→0g(x+h) =g(x) d

dx(f(g(x))) = lim

˜h→0

f(g(x) + ˜h))−f(g(x))

h˜ lim

h→0

g(x+h)−g(x) h

= f⁰(g(x))g⁰(x)

Beispiel Ableitung von

h(x) = sin(ln(1 +x²)) Kettenregel mit

w = sinz, z = lny, y = 1 +x²

unter Verwendung der Verwendung der differentiellen Schreibweise dw

dx = dw dz

dz dy

dy dx

= cos(z)· 1 y ·2x

= cos(ln(1 +x²))· 1

1 +x² ·(2x)

Beispiel

Bestimmung der Ableitung einer implizit durch eine Gleichung ϕ(x,y) = 0 definierten Funktion y(x) mit der Kettenregel

Illustration der Methode f¨ur die Gleichung einer Ellipse E : x²+ 3y²= 7

Ableitung nach x d

dx x²+ 3y²

= 2x+ 6y dy dx = d

dx7 = 0

bzw. dy

dx =y⁰=−1 3

x y

Steigung der Tangente in einem Punkt aufE mity 6= 0, z.B.

(x,y) = (2,1)

y⁰(1) = −1 3

x y

(x,y)=(2,1)

=−1 3 2 1 =−2

3

-4 -2 0 2 4

-2 0 2

Tangentengleichung

2

h¨ohere Ableitungen:

2x+ 6yy⁰0

= 2 + 6(y⁰)²+ 6yy⁰⁰ = 0

=⇒

y⁰⁰=−1 + 3(y⁰)² 3y

Einsetzen der Koordinaten eines Punktes auf E (y,y⁰ bekannt) konkrete Werte

z.B. (x,y) = (2,1)

y⁰⁰(2) =−1 + 3(−2/3)² 3(1) =−7

9

Beispiel

Leuchtturm-Paradox:

Geschwindigkeit des Lichtsignals/Schattens eines rotierenden

Scheinwerfers bei L(1/2 Umdrehung pro Sekunde) entlang einer geradlinig verlaufenden 1 km entfernten K¨uste

(i) Geschwindigkeit des Schattens:

Winkelgeschwindigkeit des Scheinwerfers ϑ= 2πt

2, dϑ dt =π Position des Lichtstrahls an der K¨uste

y(t) = tanϑ(t) Geschwindigkeit

dy

dt = dtanϑ dϑ

dϑ

dt = π

cos²(ϑ) → ∞ f¨ur ϑ→ π 2 schnellerer Schatten als das Licht

(ii) Ber¨ucksichtigung der Geschwindigkeit des Lichtstrahls:

Zeit des Erreichens von Punkt B t= ϑ

π +z c mit c der Lichtgeschwindigkeit

Differenzieren

ϑ⁰

π = 1−z⁰ c Ableiten von z² =y²+ 1 nach t

zz⁰ =yy⁰, z⁰ y⁰ = y

z = sinϑ Einsetzen von ϑ⁰ und z⁰ in Ausdruck f¨ury⁰=dy/dt

y⁰= ϑ⁰

cos²ϑ = 1 cos²ϑ

π−π

cy⁰sinϑ

Aufl¨osen nachy⁰

y⁰ = cπ

c cos²ϑ+πsinϑ ϑ→ π

2 =⇒ y⁰ →c (konsistent mit Einsteins Theorie) (iii) Schnellerer Schatten als das Licht:

y⁰→ ∞ f¨ur sinϑ

cos²ϑ → −c π, d.h. f¨urϑ≈4.781∈(^3π₂ ,2π)

kein Widerspruch zu Einsteins Theorie:

beobachtet wird nur ein Ph¨anomen nicht tats¨achlich bewegende Materie