Satz 100
X sei N (0, 1)-verteilt. Dann gilt
E [X] = 0 und Var[X] = 1.
Beweis:
E[X] = 1
√ 2π
Z
∞−∞
x · exp
− x
22
dx.
Da der Integrand punktsymmetrisch zu (0, 0) ist, folgt
E[X] = 0.
Beweis (Forts.):
Mittels Lemma 98 und durch partielle Integration erhalten wir
√ 2π =
Z
∞−∞
exp
− x
22
dx
= x exp
− x
22
∞
−∞
| {z }
= 0
+ Z
∞−∞
x
2· exp
− x
22
dx
Daraus folgt, dass E[X
2] = 1 ist und somit
Var[X] = E [X
2] − E [X]
2= 1.
Satz 101
X sei N (µ, σ
2)-verteilt. Dann gilt
E [X] = µ und Var[X] = σ
2. Beweis:
Y :=
X−µσist standardnormalverteilt. Ferner gilt gem¨ aß der Rechenregeln f¨ ur Erwartungswert und Varianz
E[X] = E[σY + µ] = σ · E[Y ] + µ = µ und
Var[X] = Var[σY + µ] = σ
2· Var[Y ] = σ
2.
2.3 Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist in gewisser Weise das kontinuierliche Analogon zur geometrischen Verteilung. Wie die geometrische Verteilung ist sie
” ged¨ achtnislos“ ist. Sie spielt daher vor allem bei
der Modellierung von Wartezeiten eine große Rolle.
Definition 102
Eine Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ, λ > 0, wenn sie die Dichte
f (x) =
( λ · e
−λxfalls x ≥ 0,
0 sonst
besitzt.
F¨ ur die entsprechende Verteilungsfunktion gilt (f¨ ur x ≥ 0) F (x) =
Z
x0
λ · e
−λtdt = h
−e
−λti
x0
= 1 − e
−λx.
F¨ ur x < 0 gilt selbstverst¨ andlich F (x) = 0.
E [X] = Z
∞0
t · λ · e
−λtdt
= h
t · (−e
−λt) i
∞0
+ Z
∞0
e
−λtdt
= 0 +
− 1 λ · e
−λt ∞ 0= 1
λ .
Analog erhalten wir E [X
2] =
Z
∞ 0t
2· λ · e
−λtdt
= h
t
2· (−e
−λt) i
∞0
+ Z
∞0
2t · e
−λtdt
= 0 + 2
λ · E [X] = 2 λ
2und somit
Var[X] = E [X
2] − E [X]
2= 1
λ
2.
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
=0;5
=1
=2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
=0;5
=1
=2
Dichte und Verteilung der Exponentialverteilung
2.3.1 Eigenschaften der Exponentialverteilung
Satz 103 (Skalierung exponentialverteilter Variablen)
Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ. F¨ ur a > 0 ist die Zufallsvariable Y := aX wieder
exponentialverteilt mit dem Parameter λ/a.
Beweis:
F
Y(x) = Pr[Y ≤ x] = Pr[aX ≤ x]
= Pr h X ≤ x
a i
= F
Xx a
= 1 − e
−λxa.
Ged¨ achtnislosigkeit
Satz 104 (Ged¨ achtnislosigkeit)
Eine (positive) kontinuierliche Zufallsvariable X mit Wertebereich R
+ist genau dann exponentialverteilt, wenn f¨ ur alle x, y > 0 gilt, dass
Pr[X > x + y | X > y] = Pr[X > x] . (*) Beweis:
Sei X exponentialverteilt mit Parameter λ. Dann gilt Pr[X > x + y | X > y] = Pr[X > x + y, X > y]
Pr[X > y]
= Pr[X > x + y]
Pr[X > y]
= e
−λ(x+y)e
−λy= e
−λx= Pr[X > x] .
Beweis (Forts.):
Sei umgekehrt X eine kontinuierliche Zufallsvariable, die die Gleichung (∗) erf¨ ullt. Wir definieren g(x) := Pr[X > x]. F¨ ur x, y > 0 gilt
g(x + y) = Pr[X > x + y]
= Pr[X > x + y | X > y] · Pr[X > y]
= Pr[X > x] · Pr[X > y] = g(x)g(y) . Daraus folgt durch wiederholte Anwendung
g(1) = g 1
n + · · · + 1 n
| {z }
n-mal
=
g 1 n
n
f¨ ur alle n ∈ N
Beweis (Forts.):
Da X nur positive Werte annimmt, muss es ein n ∈ N geben mit g(1/n) > 0. Wegen 0 < g(1) ≤ 1 muss es daher auch ein λ ≥ 0 geben mit g(1) = e
−λ.
Nun gilt f¨ ur beliebige p, q ∈ N
g(p/q) = g(1/q)
p= g(1)
p/q, und somit g(r) = e
−λrf¨ ur alle r ∈ Q
+.
Aufgrund der Stetigkeit folgt daraus
g(x) = e
−λx.
Beispiel 105
Uber das C¨ ¨ asium-Isotop
13455Cs ist bekannt, dass es eine mittlere Lebensdauer von ungef¨ ahr 3,03 Jahren oder 1,55 · 10
6Minuten besitzt. Die Zufallsvariable X messe die Lebenszeit eines bestimmten
13455Cs-Atoms. X ist exponentialverteilt mit dem Parameter
λ = 1
E[X] = 1
1,55 · 10
6≈ 0,645 · 10
−61
min
Da λ den Kehrwert einer Zeit als Einheit besitzt, spricht man von
der Zerfallsrate. Auch bei anderen Anwendungen ist es ¨ ublich, λ
als Rate einzuf¨ uhren.
2.3.2 Exponentialverteilung als Grenzwert der geometrischen Verteilung
Erinnerung: Die Poisson-Verteilung l¨ asst sich als Grenzwert der Binomialverteilung darstellen.
Wir betrachten eine Folge geometrisch verteilter Zufallsvariablen X
nmit Parameter p
n= λ/n. F¨ ur ein beliebiges k ∈ N ist die Wahrscheinlichkeit, dass X
n≤ k · n, gleich
Pr[X
n≤ kn] =
kn
X
i=1
(1 − p
n)
i−1· p
n= p
n·
kn−1
X
i=0
(1 − p
n)
i= p
n· 1 − (1 − p
n)
knp
n= 1 −
1 − λ n
kn.
Wegen lim
n→∞(1 −
λn)
n= e
−λgilt daher f¨ ur die Zufallsvariablen Y
n:=
1nX
n, dass
n→∞
lim Pr[Y
n≤ t] = lim
n→∞
Pr[X
n≤ t · n]
= lim
n→∞
"
1 −
1 − λ n
tn#
= 1 − e
−λt.
Die Folge Y
nder (skalierten) geometrisch verteilten
Zufallsvariablen geht also f¨ ur n → ∞ in eine exponentialverteilte
Zufallsvariable mit Parameter λ ¨ uber.
3. Mehrere kontinuierliche Zufallsvariablen
3.1 Mehrdimensionale Dichten Definition 106
Zu zwei kontinuierlichen Zufallsvariablen X, Y wird der zugrunde liegende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsraum ¨ uber R
2durch eine integrierbare (gemeinsame) Dichtefunktion f
X,Y: R
2→ R
+0mit
Z
∞−∞
Z
∞−∞
f
X,Y(x, y) dx dy = 1
beschrieben. F¨ ur ein Ereignis A ⊆ R
2(das aus abz¨ ahlbar vielen geschlossenen oder offenen Bereichen gebildet sein muss) gilt
Pr[A] = Z
A
f
X,Y(x, y) dx dy.
Unter einem Bereich B verstehen wir dabei Mengen der Art B = {(x, y) ∈ R
2| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} mit a, b, c, d ∈ R . Dabei k¨ onnen die einzelnen Intervallgrenzen auch
” offen“ sein.
Analog zum eindimensionalen Fall ordnen wir der Dichte f
X,Yeine (gemeinsame) Verteilung F
X,Y: R
2→ [0, 1] zu:
F
X,Y(x, y) = Pr[X ≤ x, Y ≤ y] = Z
y−∞
Z
x−∞
f
X,Y(u, v) du dv.
3.2 Randverteilungen und Unabh¨ angigkeit Definition 107
Sei f
X,Ydie gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y . Die Randverteilung der Variablen X ist gegeben durch
F
X(x) = Pr[X ≤ x] = Z
x−∞
Z
∞−∞
f
X,Y(u, v) dv
du.
Analog nennen wir
f
X(x) = Z
∞−∞
![Sei X geometrisch verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann ist Pr[X = k] die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einem bin¨ aren Experiment mit](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)