konvexe H¨ulle von n + 1 affin unabh¨angigen Punkten p 0 , . . . , p n in R n S = { x = X

5.3 Mehrdimensionale Integration

5.3.1 Mehrdimensionale Integrale

Simplex

konvexe H¨ulle von n + 1 affin unabh¨angigen Punkten p 0 , . . . , p n in R ⁿ S = { x = X

k

α k p k : X

k

α k = 1, α k ≥ 0 }

Volumen

vol S = 1

n! | det(p 1 − p 0 , . . . , p n − p 0 ) | Parallelepiped

aufgespannt von linear unabh¨angigen Vektoren a 1 , . . . , a n in R ⁿ P = { x = X

i

α _i a _i : 0 ≤ α _i ≤ 1 }

Volumen

vol P = | det(a 1 , . . . , a n ) |

Integrationsbereich Elementarbereich:

begrenzt durch Graphen stetiger Funktionen nach geeigneter orthogonaler Koordinatentransformation

a 1 ≤ x 1 ≤ b 1

a 2 (x 1 ) ≤ x 2 ≤ b 2 (x 1 ) ...

a n (x 1 , . . . , x n − 1 ) ≤ x n ≤ b n (x 1 , . . . , x n − 1 ) regul¨arer Bereich:

bis auf Randkurven bzw. -fl¨achen disjunkte endliche Vereinigung von Elementarbereichen Mehrdimensionales Integral

Grenzwert von Riemann-Summen ¨uber regul¨arem Bereich Z

V

f dV = lim

| ∆ |→ 0

X

i

f (P i )∆V i , ∆V i = vol(V i ), P i ∈ V i ,

mit | ∆ | dem maximalen Durchmesser der V i (i.a. Simplizes oder Parallelepipede) alternative Schreibweisen: R

V

f(x 1 , . . . , x n ) dx 1 . . . dx n , R

V f

110

Satz von Fubini

Integral ¨uber Elementarbereich V : a j (x 1 , . . . , x j − 1 ) ≤ x j ≤ b j (x 1 , . . . , x j − 1 ) Z

V

f dV =

b

Z

a

b Z

(x

)

a

(x

)

· · ·

b

(x

Z ,...,x

)

a

(x

,...,x

)

f (x 1 , . . . , x n ) dx n · · · dx 2 dx 1

unabh¨angig von der Reihenfolge der Variablen, z.B.

Z b

a

Z d

c

f(x, y) dydx = Z d

c

Z b

a

f(x, y) dxdy

111