Tangentialebene
Die Tangentialebene im Punkt p = (p 1 , . . . , p n ) t einer durch S : f (x 1 , . . . , x n ) = c
implizit definierten Fl¨ ache besitzt die Darstellung E : 0 = (grad f (p)) t (x − p) =
n
X
k=1
∂ k f (p)(x k − p k ) ,
falls mindestens eine der Komponenten ∂ k f (p) des Gradienten ungleich Null ist. Der Normalenvektor von E ist also parallel zu grad f .
Ist grad f (p) = (0, . . . , 0) t , so muss eine Tangentialebene im Punkt p nicht existieren. Beispielsweise kann die Fl¨ ache eine Kante oder Spitze haben.
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F¨ ur den Graph einer Funktion x 7→ x n = g (x 1 , . . . , x n−1 ) ist E : x n − g (q ) =
n−1
X
k=1
∂ k g (q)(x k − q k )
die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (q 1 , . . . , q n−1 , g (q)) t . Die partielle Ableitung ∂ k g (q) entspricht somit der Steigung der
Tangentialebene in Richtung der k -ten Koordinatenachse. Die Normale der
Tangentialebene ist parallel zu (−∂ 1 g (q), . . . , −∂ n−1 g (q ), 1) t .
Wird eine Fl¨ ache S ⊂ R n durch eine Parametrisierung beschrieben, S : (s 1 , . . . , s n−1 ) t 7→ (h 1 (s), . . . , h n (s )) t ,
so spannen die partiellen Ableitungen ∂ k h(s ∗ ) die Tangentialebene E im Punkt p = h(s ∗ ) auf, d.h.
E : p +
n−1
X
k =1
s k ∂ k h(p), s k ∈ R .
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Beweis
(i) Implizite Darstellung einer Fl¨ ache durch f (x 1 , . . . , x n ) = c : Definition der totalen Ableitung f 0 = (grad f ) t = ⇒
f (x) = f (p) + gradf (p ) t (x − p) + o(|x − p|) Vernachl¨ assigung des Terms o (|x − p|), f (x) = f (p) = c Gleichung der Tangentialebene
(ii) Darstellung einer Fl¨ ache als Funktionsgraph y = g (x 1 , . . . , x n−1 ):
∆y =
n−1
X
i=1
∂ i g (q)(∆x i ) + o(|∆x|) mit ∆y = y − g (q) und ∆x = x − q
Vernachl¨ assigung des Restgliedes Darstellung der Tangentialebene
Beispiel
Tangentialebenen f¨ ur den Kegel
K : f (x, y, z ) = x 2 + y 2 − z 2 = 0
grad f (x, y , z ) = (2x, 2y, −2z ) t Tangentialebene im Punkt (x 0 , y 0 , z 0 )
E : 2x 0 (x − x 0 ) + 2y 0 (y − y 0 ) − 2z 0 (z − z 0 ) = 0 Tangentialebene im Punkt (x 0 , y 0 , z 0 ) = (3, 4, 5)
E : 0 = 6(x − 3) + 8(y − 4) − 10(z − 5) = 6x + 8y − 10z (Jede) Tangentialebene enth¨ alt den Ursprung.
grad f (x 0 , y 0 , z 0 ) = (0, 0, 0) t f¨ ur (x 0 , y 0 , z 0 ) = (0, 0, 0) keine Tangentialebene an der Spitze des Kegels
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Beispiel
Tangentialebenen f¨ ur den den Funktionsgraph von
g (x) = |x − p| −1 − |x + p| −1 , x = (x 1 , x 2 )
(Potential eines Dipols mit Ladungen in den Punkten ±p = ±(p 1 , p 2 ))
∂ k (x 1 2 + x 2 2 ) −1/2 = (−1/2)(x 1 2 + x 2 2 ) −3/2 (2x k )
∂ k g(x) = x k + p k
|x + p | 3 − x k − p k
|x − p| 3 , k = 1, 2 Gleichung der Tangentialebene E im Punkt x = q = (q 1 , q 2 )
x 3 − g (q) =
2
X
k=1
q k + p k
|q + p| 3 − q k − p k
|q − p| 3
| {z }
∂
kg (q)
(x k − q k )
= (q + p)((x 1 , x 2 ) − q) t
|q + p| 3 − (q − p)((x 1 , x 2 ) − q) t
|q − p| 3
z.B. f¨ ur q = (0, 0)
g (q) = 0, E : x 3 = 2 p 1 x 1 + p 2 x 2
|p| 3
Tangentialebene verl¨ auft durch den Ursprung und enth¨ alt die Gerade senkrecht zu p
keine Tangentialebenen in den Singularit¨ aten (x = ±p)
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Beispiel
Tangentialebene des Hyperboloids H : (ϕ, z) 7→ h(ϕ, z ) = ( p
1 + z 2 cos ϕ, p
1 + z 2 sin ϕ, z) t im Punkt p = (1, −1, 1) = h(−π/4, 1) t
partielle Ableitungen der Parametrisierung
h ϕ (ϕ, z) =
− √
1 + z 2 sin ϕ
√
1 + z 2 cos ϕ 0
, h z (ϕ, z ) =
√ z
1 + z 2 cos ϕ
√ z
1 + z 2 sin ϕ 1
Auswertung im Ber¨ uhrpunkt
h ϕ (−π/4, 1) =
− √
2 (−1/ √
√ 2) 2 (1/ √
2) 0
=
1 1 0
, h z (−π/4, 1) =
1/2
−1/2 1
parametrische Darstellung der Tangentialebene
E :
x y z
=
1
−1 1
+ s
1 1 0
+ t
1/2
−1/2 1
, s , t ∈ R Vektorprodukt der aufspannenden Vektoren Normale
1
−1 0
×
1/2 1/2 1
=
−1
−1 1
und der impliziten Darstellung
E : 0 = (−1, −1, 1)
x − 1 y − (−1)
z − 1
bzw. x + y + z = −1
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