Übungen zum ABI’08 Geometrie (Lineare Algebra) Seite 1 von 2
Übungen zum Abitur 2008:
Geometrie (Lineare Algebra) Zu vertiefende Themen:
o Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen
o Geradengleichung bestimmen mittels 2 Punkte, mittels Punkt und paralleler bzw. orthogonaler Geraden
o Ebenengleichungen aufstellen in verschiedener Formen (Parameterform, Koordinatenform, Normalenform bzw. Hessesche’ Normalenform)
Ebene durch drei Punkte
Ebene durch Punkt und Gerade
Ebene durch Punkt und senkrechten Vektor (NormalenVektor) o Punktproben (einsetzen von Punkten in Geraden- und Ebenengleichungen),
insbesondere in Geraden- und Ebenenscharen o Abstandprobleme
o Abstand Punkt – Punkt (bzw. Länge eines Vektors) o Abstand Punkt – Ebene
o Schnittwinkel
o Gerade – Ebene o Ebene – Ebene
Bestimmung der Schnittgeraden o Schnittkreis von Kugel und Ebene
o Schnittkreis bestimmen: Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises
Aufgaben:
Aufgabe G1
Gegeben sind eine Ebenenschar Et: (t+1)x1+ + −x2 ( 1)t x3+ + =3 t 0 mit t∈\, eine Ebene
1 3
: 1 0
E x + + =x und der Punkt P( 2 | 0 |1)− .
(a) Stellen Sie für t=0 die Ebene E0 in Parameterform dar.
(b) Bestimmen Sie die Schnittgerade g der beiden Ebenen E und E0 und zeigen Sie, dass der Punkt P auf g liegt.
(c) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und E0.
Aufgabe G2
Gegeben sind die Ebene E: 2x1+ − =x3 3 0 und der Punkt M(7 |1| 9). Die Kugel k mit dem Radius 21LE hat den Mittelpunt M .
Bestimmen Sie den Mittelpunkt MS und den Radius rS des Schnittkreises kS, den die Kugel k mit der Ebene E bildet.
Aufgabe G3
Gegeben sind die Ebene Et: 2tx1−tx2+ −( 1)t x3−18 0= und die Punkte B(6 | 6 | 6)− und (10 | 2 | 18)
C − .
Für welche Werte von t
(a) liegen die Punkte B resp. C in der Ebene Et, (b) hat B den Abstand 6LE von Et?
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Aufgabe G4
Gegeben sind die Punkte (3 | 5 |14)A − und (11|12 | 7)C − , die Ebenenschar
1 2 3
: ( 1) 2 3 0
Et t− x +tx + x − =t und die Punteschar (3Pt −t t| −1| )t . Für welche Werte von t
(a) beträgt der Abstand der Punkte Pt und P2t 3LE, (b) beträgt der Abstand von Pt zum Ursprung 3LE, (c) liegt A in Et,
(d) verläuft Et senkrecht zur x x2 3-Ebene.
(e) liegt der Punkt C 15LE von Et entfernt?