Räumliche Vektorgeometrie
1. Geraden
1.1. Die Parametergleichung
1. Beispiel
Gegeben sind die Punkte P( 3|0|4 ) und Q( 0|4|1 ) .
Wir wollen alle Punkte beschreiben, welche auf der Geradeng =P Qliegen.
2. Die Parametergleichung
Zu jedem Wert des Parameters t. . . . . . . . Von Geraden im Raum gibt es nur die Parametergleichung.
3. Verschiedene Formen der Parametergleichung
Wir betrachten die Gerade durch ( 4|7|1 ) und ( 7|13| −2 ) . a) Parametergleichung
. . . . b) Gleichungssystem
. . . . c) Punktschreibweise
. . . .
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4. Aufgabe
Die Gerade g ist festgelegt durch die Punkte ( 2|4|1 ) und ( 5|8|2 ) . a) Liegt P( 17|24|7 ) auf g?
b) Liegt Q( 14|20|5 ) auf g?
5. Spurpunkte
Eine Gerade ist gegeben durch die Punkte ( 3|8|2 ) und ( 5|9| −3 ) . In welchen Punkten durchstösst diese Gerade die Rissebenen?
Für die xy-Ebene . . . . Für die yz-Ebene . . . . Für die xz-Ebene . . . .
6. Spezielle Lagen von Geraden
Die folgenden Geraden haben spezielle Lage. Beschreibe diese.
a) ( 4|3|0 ) ( 4|3|2 ) . . . . . . . . b) ( 5|4|7 ) ( 3|8|7 ) . . . . . . . . c) ( 0|6|1 ) ( 0|9|3 ) . . . . . . . .
Übung
Eine Gerade ist gegeben durch die Punkte ( 2|3|6 ) und ( 3|1|8 ) . Notiere die möglichen Formen der Parametergleichung und berechne die Koordinaten der Spurpunkte.
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1.2. Gegenseitige Lage
1. Mögliche Fälle
Im Raum gibt es 4 verschiedene mögliche Fälle der gegenseitigen Lage zweier Gera- den:
. . . . Mit zwei zu untersuchenden Kriterien können wir die vier möglichen Fälle unterschei- den:
a) . . . . b) . . . . Zusammenfassung in einer Tabelle:
2. Musterbeispiele
Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Geraden.
a) a: ( 4|3|0 ) ( 5|1|3 ) , b: ( 4| −7|2 ) ( 10| −4|11 ) b) g: ( 3|6|0 ) ( 4|4|3 ) , h: ( 8|1|3 ) ( 6|5| −3 )
3. Anwendung
Gegeben sind g: ( 18|1|3 ) ( 10|2| −1 ) und h: ( 5| −3|1 ) ( 6| −5|3 ) . a) Weise nach, dass sich g und h schneiden.
b) Bestimme Schnittpunkt und Schnittwinkel.
c) Bestimme die Winkelhalbierenden (Parametergleichung).
Übung
Welche gegenseitige Lage haben a und b?
a: ( 7|2|6 ) ( 3| −1|6 ) , b: ( 9| −7| −2 ) ( 4|2| −2 )
Zusatzfrage: Wie hätte man das auch ohne grosse Rechnung entschei- den können?
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