Volumina und Integrale ¨ uber Elementarbereiche Simplex konvexe H¨ ulle von n + 1 Punkten
S = {x =
n
X
k=0
s k p k : X
k
s k = 1, s k ≥ 0}, vol S = 1 n!
p 0 · · · p n
1 · · · 1
Dreieck (Tetraeder) f¨ ur n = 2 (n = 3)
Parallelepiped aufgespannt von n linear unabh¨ angigen Vektoren P = {x =
n
X
k=1
s k v k : 0 ≤ s k ≤ 1}, vol P = |det(v 1 , . . . , v n )|
Parallelogramm (Spat) f¨ ur n = 2 (n = 3)
Regul¨ arer Bereich endliche Vereinigung von Elementarbereichen D, die, gegebenenfalls nach geeigneter Koordinatentransformation, durch
Funktionsgraphen begrenzt werden
D ⊆ R 2 : a 1 ≤ x ≤ b 1 , a 2 (x) ≤ y ≤ b 2 (x)
1 / 10
D ⊆ R 3 : a 1 ≤ x ≤ b 1 , a 2 (x) ≤ y ≤ b 2 (x), a 3 (x, y ) ≤ z ≤ b 3 (x, y ) allgemein: x n begrenzt durch Graphen von Funktionen der Variablen x 1 , . . . , x n−1
Mehrdimensionales Integral Grenzwert von Riemann-Summen, basierend auf einer Approximation des Integrationsgebiets V durch eine Vereinigung von Elementarbereichen V k (meist Quader oder Simplizes)
Z
V
f dV = Z
V
f (x 1 , . . . , x n ) dx 1 · · · dx n = lim
max diam V
k→0
X
k
f (P k )
| {z }
∈V
kvol V k
f = 1 Volumen von V
Satz von Fubini Integration ¨ uber einen Elementarbereich V : a k (x 1 , . . . , x k−1 ) ≤ x k ≤ b k (x 1 , . . . , x k−1 ) durch Hintereinanderausf¨ uhrung eindimenionaler Integrationen
Z
V
f dV =
b
1Z
a
1b
2(x
1)
Z
a
2(x
1)
· · ·
b
n(x
1,...,x
n−1)
Z
a
n(x
1,...,x
n−1)
f (x 1 , . . . , x n ) dx n · · · dx 2 dx 1 .
Vertauschung der Integrationsreihenfolge m¨ oglich, z.B.
R b
a
R d
c f (x, y) dy dx = R d
c
R b
a f (x, y ) dxdy
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Transformationssatz
Transformationssatz U 3 x 7→
bijektiv y = g (x) ∈ V Z
U
f (g (x)) | det g 0 (x)| dx = Z
V
f (y) dy , V = g (U ) z.B. f¨ ur U ⊂ R 2 und g = (u, v) t
Z
U
f (u(x, y ), v (x, y )) |u x (x, y )v y (x, y )−u y (x, y)v x (x, y )| dxdy = Z
V
f (u, v) du dv Spezialf¨ alle:
| det g 0 | = Q n k=1
∂g
∂x
kf¨ ur eine lokal orthogonale Transformation g (∂ i g ⊥ ∂ j g )
dy = | det A| dx f¨ ur eine affine Transformation x 7→ y = Ax + b
dy k = λ k dx k bei Skalierung der Variablen, y k = λ k x k
Kurven- und Fl¨ achenintegrale L¨ ange einer Kurve t 7→ p(t) ∈ R n
Z b
a
|p 0 (t)| dt, Z b
a
q
x 0 (t) 2 + y 0 (t) 2 dt f¨ ur p = (x, y ) ∈ R 2 Bogenl¨ ange s(t ) = R t
a |p 0 (τ )| dτ Parametrisierung s 7→ q(s ) mit normiertem Tangentenvektor
q(s) = p(t), |q 0 | = 1
Kurvenintegral f¨ ur eine regul¨ ar parametrisierte Kurve C : t → p(t),
|p 0 (t)| 6= 0
Z
C
f = Z b
a
f (p(t)) |p 0 (t)| dt
unabh¨ angig von der Parametrisierung, insbesondere auch von der Orientierung der Kurve
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Fl¨ achenintegral Z
S
f dS = Z
R
(f ◦ s) | det(∂ 1 s, . . . , ∂ n−1 s, ξ )| dR
mit R 3 (x 1 , . . . , x n−1 ) t 7→ (s 1 (x ), . . . , s n (x)) t einer Parametrisierung von S und ξ einem normierten Normalenvektor (⊥ ∂ k s)
f = 1 Fl¨ acheninhalt von S n = 3: | det(∂ 1 s , ∂ 2 s, ξ )| = |∂ 1 s × ∂ 2 s|
Z
S
f dS = Z
R
f (s (x)) |∂ 1 s(x) × ∂ 2 s(x)| dx, x = (x 1 , x 2 ), s = (s 1 , s 2 , s 2 ) t
Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten Volumenelement in Zylinderkoordinaten
x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = z dx dy dz = % d% dϕ dz Integration ¨ uber einen Zylinder Z mit Radius % 0 und H¨ ohe z 0
Z
Z
f dZ = Z z0
0
Z 2π
0
Z %0
0
f (%, ϕ, z ) % d% dϕ dz bei axialer Symmetrie: R
Z f dZ = 2π R z
00
R %0
0 f (%, z) % d%dz Volumenelement in Kugelkoordinaten
x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ dx dy dz = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ
Integration ¨ uber eine Kugel K mit Radius R Z
K
f dK = Z 2π
0
Z π
0
Z R
0
f (r, ϑ, ϕ) r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ
7 / 10
R
K f = 4π
R
R
0
f (r)r 2 dr f¨ ur eine radialsymmetrische Funktion Fl¨ achenelement in Zylinderkoordinaten Parametrisierung der Mantelfl¨ ache S : (ϕ, z ) t 7→ (% cos ϕ, % sin ϕ, z) t
dS = % dϕdz , Z
S
f dS = Z zmax
z
minZ 2π
0
f (%, ϕ, z ) % dϕdz Fl¨ achenelement in Kugelkoordinaten Parametrisierung der Sph¨ are S:
(ϑ, ϕ) t 7→ (R sin ϑ cos ϕ, R sin ϑ sin ϕ, R cos ϑ) t dS = R 2 sin ϑ dϑdϕ,
Z
S
f dS = Z 2π
0
Z π
0
f (R, ϑ, ϕ) R 2 sin ϑ dϑdϕ
Rotationsk¨ orper, Schwerpunkt und Tr¨ agheitsmoment
Schwerpunkt (s 1 , s 2 , s 3 ) eines K¨ orpers K mit Dichte %(x 1 , x 2 , x 3 ) s ` =
Z
K
x ` %(x) dx . Z
K
%(x) dx
| {z }
Masse
%(x) = 1 geometrischer Schwerpunkt (Masse → Volumen) Tr¨ agheitsmoment eines K¨ orpers K mit Dichte %(x 1 , x 2 , x 3 ) um eine Achse g
I = Z
K
dist(x, g ) 2 %(x) dx
Rotationsk¨ orper mit Radiusfunktion r = f (x), a ≤ x ≤ b Volumen: π R b
a f (x) 2 dx Mantelfl¨ ache: 2π R b
a f (x) p
1 + f 0 (x) 2 dx
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