Betrachten wir N unabh¨ angigen, identisch verteilen Zufallsvariablen x

Physikalische Kinetik SS 2019

Blatt 8. Verschiedene Aufgaben

1. Extremwertstatistik.

Betrachten wir N unabh¨ angigen, identisch verteilen Zufallsvariablen x

, i = 1, 2, ..., N . Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzt eine Dichte p

(x).

Betrachten Sie die Rekordvariable R = max

{x

}. Finden Sie die Wahr- scheinlichkeit Prob(R ≤ X), dass R nicht gr¨ osser als vorgegebener Wert X ist.

Hinweis: Die Wahrscheinlichkeit Prob(R ≤ X) ist die Wahrscheinlich- keit, dass keine der N unabh¨ angigen x

gr¨ osser ist, als X.

• Bertachten Sie nun N 1 und bestimmen Sie in diesem Fall die asymptotische Form von der Wahrscheinlichkeitsdichte p(R).

Hinweis: Uberlegen Sie, dass ¨ R in diesem Fall typischerweise gross wird. Benutzen Sie den Trick a

= e

und die Tatsa- che dass Prob(x ≤ X) = 1 −

p(x

)dx

.

• Betrachten Sie nun die Gaussverteilte Variablen x

mit hx

i = 0 und hx

i = σ

.

Bestimmen Sie den wahrscheinlichsten Wert von R(N ) f¨ ur N 1.

Hinweis: Es ist bequemer nach dem Maximum von ln(p(R)) zu suchen. Benutzen Sie das asymptotische Verhalten von erfc(x), und vergessen Sie nicht, dass R typischerweise gross ist.

• Diskutieren Sie die gleiche Problemstellung f¨ ur die Pareto-vetreilte Variablen,

p(x) =

(

αx

x

f¨ ur x ≥ x

0 f¨ ur x < x

mit α > 0.

1

2. Vaks-Balagurov-Kinetik in einer Dimension

• Betrachten wir zuerst eine folgende Hilfsaufgabe. Ein Teilchen startet mit gleicher Wahrscheinlichkeit am jedem Punkt eines In- tervalls der L¨ ange L mit absorbierenden Randbedingungen (d.h.

p(x, t) = 1/L f¨ ur 0 < x < L) und bewegt sich auf dem Intervall diffusiv. Finden Sie das asymptotische Verhalten der ¨ Uberlebens- wagrscheinlichkeit Φ(t) =

p(x, t)dx f¨ ur t L

/D.

Hinweis: Entwickeln Sie p(x, t) nach der Eigenfunktionen der Laplace- Operator auf dem Intervall (d.h. benutzen Sie das Variablentren- nung Ansatz).

• Betrachten Sie nun die Fallen (absorbierende Punkte), die auf eine Gerade verteilt sind. Zun¨ achst sind die Fallen regul¨ ar verteilt, mit dem Abstand L = c

voneinander. Bestimmen Sie das Asympto- tik der ¨ Uberlebenwahrscheinichkeit Φ(t) des in das System zufllig geworfenes Teilchens.

• Betrachten Sie den Fall, wenn die Fallen auf der Gerade zuf¨ allig vertelit sind. In diesem Fall ist die Verteilung der ¨ Abst¨ ande zwi- schen den benachbarten Fallen exponentiell (warum?):

p(L) = c exp(−cL)

(der mittlere Abstand zwischen den Fallen ist, wie in dem vorhe- rigen Fall, hLi = c

).

• Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit q(L), dass ein zuf¨ allig in das System geworfenes Teilchen auf einem Intervall l¨ ange L landet?

Hinweis: Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zu der L¨ ange des entsprechenden Intervalls und muss richtig normiert werden.

• Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten der ¨ Uberlebenswa- grscheinlichkeit Φ(t) indem Sie das Resultat der ersten Teilaufga- be ¨ uber die Intevalll¨ angen mitteln.

Hinweis: Zur Absch¨ atzung der Integrale kann die Laplace-Methode von Nutzen sein.

2