1.4.4 Laplace-Prinzip in kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen Das folgende Beispiel zeigt, dass im kontinuierlichen Fall die Bedeutung von
” gleichwahrscheinlich“ nicht immer ganz klar sein muss.
Bertrand’sches Paradoxon
Wir betrachten einen Kreis mit einem eingeschriebenen gleichseitigen Dreieck. Was ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die L¨ ange einer zuf¨ allig gew¨ ahlten Sehne die
Seitenl¨ ange dieses Dreiecks ¨ ubersteigt (Ereignis A)?
r
2
120 Æ
M S
' S
M
DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 241/476
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Ernst W. Mayr
Beobachtungen:
Die Seiten des Dreiecks haben Abstand r 2 vom Mittelpunkt M .
Die Lage jeder Sehne ist (bis auf Rotation um M ) durch einen der folgenden Parameter festgelegt:
Abstand d zum Kreismittelpunkt, Winkel ϕ mit dem Kreismittelpunkt.
Wir nehmen f¨ ur jeden dieser Parameter Gleichverteilung an und ermitteln Pr[A].
1
Sei d ∈ [0, r] gleichverteilt. A tritt ein, wenn d < r 2 , und es folgt Pr[A] = 1 2 .
2
Sei ϕ ∈ [0 ◦ , 180 ◦ ] gleichverteilt. F¨ ur A muss gelten ϕ ∈]120 ◦ , 180 ◦ ], und es folgt somit Pr[A] = 1 3 .
Siehe auch diese graphischen Darstellungen!
2. Wichtige stetige Verteilungen 2.1 Gleichverteilung
f (x) = ( 1
b−a f¨ ur x ∈ [a, b], 0 sonst.
F (x) = Z x
−∞
f (t) d t =
0 f¨ ur x < a,
x−a
b−a f¨ ur a ≤ x ≤ b, 1 f¨ ur x > b.
E[X] = a + b
2 und Var[X] = (a − b) 2 12 .
DWT 2.1 Gleichverteilung 243/476
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2.2 Normalverteilung
Die Normalverteilung nimmt unter den stetigen Verteilungen eine besonders prominente Position ein.
Definition 98
Eine Zufallsvariable X mit Wertebereich W X = R heißt normalverteilt mit den Parametern µ ∈ R und σ ∈ R + , wenn sie die Dichte
f (x) = 1
√ 2πσ · exp
− (x − µ) 2 2σ 2
=: ϕ(x; µ, σ)
besitzt.
In Zeichen schreiben wir X ∼ N (µ, σ 2 ).
N (0, 1) heißt Standardnormalverteilung. Die zugeh¨ orige Dichte ϕ(x; 0, 1) k¨ urzen wir
durch ϕ(x) ab.
Die Verteilungsfunktion zu N (µ, σ 2 ) ist F(x) = 1
√ 2πσ · Z x
−∞
exp
− (t − µ) 2 2σ 2
d t =: Φ(x; µ, σ) .
Diese Funktion heißt Gauß’sche Φ-Funktion (ϕ ist nicht geschlossen integrierbar).
DWT 2.2 Normalverteilung 245/476
c
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Lemma 99
I :=
Z ∞
−∞
e −x2/2 d x = √ 2π.
Beweis:
Wir berechnen zun¨ achst I 2 : I 2 =
Z ∞
−∞
e −x2/2 d x
Z ∞
−∞
e −y2/2 d y
= Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
e −(x2+y
2)/2 d x d y .
Wir gehen nun zu Polarkoordinaten ¨ uber und setzen x := r cos φ und y := r sin φ.
Dann ist
∂x
∂r
∂y
∂x ∂r
∂φ
∂y
∂φ
=
cos φ sin φ
−r sin φ r cos φ
= r(cos 2 φ + sin 2 φ) = r
Beweis (Forts.):
und wir erhalten I 2 =
Z 2π 0
Z ∞ 0
e −r2/2 r d r d φ = Z 2π
0
h −e −r2/2 i ∞ 0 d φ
= Z 2π
0
1 d φ = 2π.
DWT 2.2 Normalverteilung 247/476
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0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
=0;5
=1
=2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
=0;5
=1
=2
Dichte und Verteilung von N (0, σ 2 )
Satz 100 (Lineare Transformation der Normalverteilung)
Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit X ∼ N (µ, σ 2 ). Dann gilt f¨ ur beliebiges a ∈ R \ {0} und b ∈ R , dass Y = aX + b normalverteilt ist mit Y ∼ N (aµ + b, a 2 σ 2 ).
Beweis:
Wir betrachten zun¨ achst den Fall
” a > 0“:
Pr[Y ≤ y] = Pr[aX + b ≤ y] = Pr
X ≤ y − b a
= 1
√ 2πσ ·
Z (y−b)/a
−∞
exp
− (u − µ) 2 2σ 2
d u.
Nach der Substitution u = (v − b)/a und d u = (1/a) · d v erhalten wir
DWT 2.2 Normalverteilung 249/476
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Beweis (Forts.):
Pr[Y ≤ y] = 1
√ 2πaσ · Z y
−∞
exp
− (v − aµ − b) 2 2a 2 σ 2
d v .
Also Y ∼ N (aµ + b, a 2 σ 2 ). F¨ ur a < 0 verl¨ auft der Beweis analog.
Sei also X eine beliebige N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable X und Y := X−µ σ . Dann ist nach Satz 100 Y N (0, 1)-verteilt. Y heißt auch normiert.
Ferner gilt
Pr[a < X ≤ b] = Pr
a − µ
σ < Y ≤ b − µ σ
= Φ
b − µ σ
− Φ
a − µ σ
.
DWT 2.2 Normalverteilung 251/476
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Satz 101
X sei N (0, 1)-verteilt. Dann gilt
E [X] = 0 und Var[X] = 1.
Beweis:
E[X] = 1
√ 2π Z ∞
−∞
x · exp
− x 2 2
d x.
Da der Integrand punktsymmetrisch zu (0, 0) ist, folgt E [X] = 0.
Beweis (Forts.):
Mittels Lemma 99 und durch partielle Integration erhalten wir
√ 2π =
Z ∞
−∞
exp
− x 2 2
d x
= x exp
− x 2 2
∞
−∞
| {z }
= 0
+ Z ∞
−∞
x 2 · exp
− x 2 2
d x
Daraus folgt, dass E[X 2 ] = 1 ist und somit Var[X] = E[X 2 ] − E[X] 2 = 1.
DWT 2.2 Normalverteilung 253/476
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Satz 102
X sei N (µ, σ 2 )-verteilt. Dann gilt
E [X] = µ und Var[X] = σ 2 .
Beweis:
Y := X−µ σ ist standardnormalverteilt. Ferner gilt gem¨ aß der Rechenregeln f¨ ur Erwartungswert und Varianz
E[X] = E[σY + µ] = σ · E[Y ] + µ = µ und
Var[X] = Var[σY + µ] = σ 2 · Var[Y ] = σ 2 .
2.3 Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist in gewisser Weise das kontinuierliche Analogon zur geometrischen Verteilung. Wie die geometrische Verteilung ist sie
” ged¨ achtnislos“. Sie spielt daher vor allem bei der Modellierung von Wartezeiten eine große Rolle.
DWT 2.3 Exponentialverteilung 255/476
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Definition 103
Eine Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ, λ > 0, wenn sie die Dichte
f (x) =
( λ · e −λx falls x ≥ 0,
0 sonst
besitzt.
F¨ ur die entsprechende Verteilungsfunktion gilt (f¨ ur x ≥ 0) F(x) =
Z x 0
λ · e −λt d t = h
−e −λt i x
0 = 1 − e −λx .
F¨ ur x < 0 gilt selbstverst¨ andlich F (x) = 0.
E [X] = Z ∞
0
t · λ · e −λt d t
= h
t · (−e −λt ) i ∞ 0 +
Z ∞ 0
e −λt d t
= 0 +
− 1 λ · e −λt
∞ 0
= 1 λ .
DWT 2.3 Exponentialverteilung 257/476
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Analog erhalten wir
E [X 2 ] = Z ∞
0
t 2 · λ · e −λt d t
= h
t 2 · (−e −λt ) i ∞ 0 +
Z ∞ 0
2t · e −λt d t
= 0 + 2
λ · E [X] = 2 λ 2 und somit
Var[X] = E [X 2 ] − E [X] 2 = 1
λ 2 .
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
=0;5
=1
=2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
=0;5
=1
=2
Dichte und Verteilung der Exponentialverteilung
DWT 2.3 Exponentialverteilung 259/476
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