Die Kochsche Schneeﬂocke Die Kochsche Schneeﬂocke entsteht auf folgende Weise iterativ aus einem gleichseitigen Dreieck:

(1)

Die Kochsche Schneeflocke

Die Kochsche Schneeflocke entsteht auf folgende Weise iterativ aus einem gleichseitigen Dreieck:

Bild: Wxs

(Wikimedia Commons)

In jedem Iterationsschritt wird aus jeder Kante das mittlere Drittel

entfernt und wie gezeichnet durch zwei neue Kanten gleicher Länge

ersetzt.

(2)

Der Vorgang wird immer wieder wiederholt. Im Grenzübergang entsteht die Kochsche Schneeflocke – ein sogenanntes Fraktal. Nach 5 Schritten sieht der über einer „Grundseite“ liegende Teil bereits so aus:

Wie groß ist die von der Schneeflocke umschlossene Fläche? Was ist

der Umfang der Figur? Starten Sie im ersten Schritt mit Fläche 1.

(3)

Unendlich tiefer Trichter mit endlich viel Farbe

Der von f : [1, ∞) → R , f(x) =

_x¹

, erzeugte Rotationskörper hat ein endliches Volumen. (Welches?)

Die Fläche unter dem besagten Graphen ist jedoch unendlich groß.

Man kann also den entstehenden Trichter mit endlich viel Tinte füllen.

Schneidet man ihn jedoch längs der Rotationsachse durch, so braucht man für das Bemalen der Schnittfläche unendlich viel Tinte.

Wie lässt sich das Paradoxon aufklären?

(4)

Hilberts Hotel

Mit der Endlichkeit ist es so eine Sache: ein Hotel mit endlich vielen Zimmern ist nun mal voll, wenn alle Zimmer belegt sind.

In einem Hotel mit (abzählbar) unendlich vielen Zimmern, kann man dagegen immer noch einen Gast unterbringen: der Gast aus Nr. 1 zieht in Nr. 2, der Gast aus Nr. 2 in Nr. 3 etc. Damit wird Zimmer Nr. 1 frei.

Könnte man auch

einen ganzen Bus mit unendlich vielen Gästen unterbringen?

unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Gästen unterbringen?

Kann man davon sprechen, dass es „mehr“ rationale als natürliche

Zahlen gibt?

(5)

Die Kochsche Schneeﬂocke Die Kochsche Schneeﬂocke entsteht auf folgende Weise iterativ aus einem gleichseitigen Dreieck:

Die Kochsche Schneeflocke

Die Kochsche Schneeflocke entsteht auf folgende Weise iterativ aus einem gleichseitigen Dreieck:

In jedem Iterationsschritt wird aus jeder Kante das mittlere Drittel

entfernt und wie gezeichnet durch zwei neue Kanten gleicher Länge

ersetzt.

Der Vorgang wird immer wieder wiederholt. Im Grenzübergang entsteht die Kochsche Schneeflocke – ein sogenanntes Fraktal. Nach 5 Schritten sieht der über einer „Grundseite“ liegende Teil bereits so aus:

Wie groß ist die von der Schneeflocke umschlossene Fläche? Was ist

der Umfang der Figur? Starten Sie im ersten Schritt mit Fläche 1.

Unendlich tiefer Trichter mit endlich viel Farbe

Der von f : [1, ∞) → R , f(x) =

, erzeugte Rotationskörper hat ein endliches Volumen. (Welches?)

Die Fläche unter dem besagten Graphen ist jedoch unendlich groß.

Man kann also den entstehenden Trichter mit endlich viel Tinte füllen.

Schneidet man ihn jedoch längs der Rotationsachse durch, so braucht man für das Bemalen der Schnittfläche unendlich viel Tinte.

Wie lässt sich das Paradoxon aufklären?

Hilberts Hotel

Mit der Endlichkeit ist es so eine Sache: ein Hotel mit endlich vielen Zimmern ist nun mal voll, wenn alle Zimmer belegt sind.

In einem Hotel mit (abzählbar) unendlich vielen Zimmern, kann man dagegen immer noch einen Gast unterbringen: der Gast aus Nr. 1 zieht in Nr. 2, der Gast aus Nr. 2 in Nr. 3 etc. Damit wird Zimmer Nr. 1 frei.

Könnte man auch

einen ganzen Bus mit unendlich vielen Gästen unterbringen?

unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Gästen unterbringen?

Kann man davon sprechen, dass es „mehr“ rationale als natürliche

Zahlen gibt?

Ein verlorenes Quadrat oder nur der Glühwein?

Zerlegt man eine Fläche in nicht überlappende Teilflächen, so ist die Gesamtfläche gleich der Summe der Teilflächen.

Werden die Teile anders zusammengesetzt, so ändert sich die Gesamtfläche natürlich nicht.

Die folgenden Abbildungen scheinen dieser Aussage zu widersprechen.

Wie lässt sich das Rätsel auflösen?

Wir wünschen Ihnen eine friedvolle schöne Weihnachtszeit und einen

guten Rutsch ins Jahr 2014.