(a) Sei m ∈ R und v > 0. Seien X 1 , . . . , X n unabh¨ angige N m,v -verteilte Zufallsvariablen.

Technische Universit¨ at Chemnitz Mathematische Statistik, WS 14/15 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Dr. M. Tautenhahn

Ubungsblatt 4 ¨

Aufgabe 1 (Konfidenzintervall im Gaußschen Produktmodell).

(a) Sei m ∈ R und v > 0. Seien X ₁ , . . . , X _n unabh¨ angige N _m,v -verteilte Zufallsvariablen.

Wie ist dann P n

i=1 (X _i − m) ² /v verteilt?

(b) Sei m ∈ R und α ∈ (0, 1). Wir betrachten das statistische Modell M = R ⁿ , B ⁿ , N _m,v ^⊗n : v > 0

. Zeigen Sie, dass C : R ⁿ → P ( R ),

C(X) =

nV n (X)

χ ² _n (1 − α/2) , nV n (X) χ ² _n (α/2)

ein Konfidenzintervall f¨ ur die Varianz v zum Irrtumsniveau α ist. Hierbei ist V _n (X) = 1

n

n

X

i=1

(X _i − m) ²

und f¨ ur t > 0 ist χ ² _n (t) das t-Quantil der Chiquadratverteilung mit n Freiheitsgraden.

Aufgabe 2 (Konfidenzintervalle im Binomialmodell). Sei p ein unbekannter Parameter aus dem Intervall [0, 1]. Seien Y ₁ , . . . Y ₂₅₀₀ unabh¨ angige Bernoulli-verteilte Zufallsvaria- blen mit P (Y _i = 1) = p = 1 − P (Y _i = 0) f¨ ur alle i = 1, . . . , 2500, S := P 2500

i=1 Y _i und J :=

3 10 , 4

10

(a) Bei einer Auswertung der Zufallsvariablen Y 1 , . . . Y 2500 ergebe sich S = 875 . Zeigen oder widerlegen Sie: J ist ein Konfidenzintervall (aufgrund des angegebenen Wertes f¨ ur S) f¨ ur den Parameter p zum Irrtumsniveau α = 1/100.

(b) Bei einer Auswertung der Zufallsvariablen Y ₁ , . . . Y ₂₅₀₀ ergebe sich S = 675 . Zeigen oder widerlegen Sie: J ist ein Konfidenzintervall (aufgrund des angegebenen Wertes f¨ ur S) f¨ ur den Parameter p zum Irrtumsniveau α = 1/100.

Bitte wenden!

Aufgabe 3 (Zusammenhang von Konfidenzbereichen und Tests). Sei (X , F , P ϑ : ϑ ∈ Θ) ein statistisches Modell. Zeigen Sie:

(a) Ist C : X → P(Θ) ein Konfidenzbereich zum Irrtumsniveau α und ϑ ₀ ∈ Θ beliebig gew¨ ahlt, so ist {ϑ ₀ 6∈ C(·)} der Ablehnungsbereich eines (nichtrandomisierten) Tests von H ₀ : ϑ = ϑ ₀ gegen H ₁ : ϑ 6= ϑ ₀ zum Niveau α.

(b) Ist umgekehrt f¨ ur jedes ϑ ₀ ∈ Θ ein nichtrandomisierter Test f¨ ur H ₀ : ϑ = ϑ ₀ gegen H 1 : ϑ 6= ϑ 0 zum Niveau α gegeben, so l¨ aßt sich daraus ein Konfidenzbereich zum Irrtumsniveau α gewinnen.

Aufgabe 4 (Bester Test). Geben Sie einen besten Test ϕ f¨ ur H ₀ : ϑ = 0 gegen H ₁ : ϑ = 1 zum Niveau α ∈ (0, 1/2) f¨ ur das statistische Modell

(X = (0, 3), B((0, 3)), P ϑ : ϑ ∈ {0, 1}) mit

P ⁰ = U _(0,2) und P ¹ = U _(1,3) an.

Zusatzaufgabe 1 (Konfidenzintevall im Gaußschen Produktmodell). Betrachten Sie das Gaußsche Produktmodell ( R ⁿ , B ⁿ , N _m,v ^⊗n : m ∈ R , v > 0) mit dem unbekannten Parameter ϑ = (m, v) ∈ R × (0, ∞) =: Θ. Zu gegebenen α ∈ (0, 1) seien

• β _± = (1 ± √

1 − α)/2,

• u = φ ⁻¹ (β ₊ ) das β ₊ -Quantil der N _0,1 -Verteilung sowie

• c ± = χ ² _n−1;β

die β ± -Quantile der χ ² _n−1 -Verteilung.

Zeigen Sie, dass

C(x) =

(m, v) ∈ Θ : |m − M (x)| ≤ u r v

n , (n − 1) V ^∗ (x)

c ₊ ≤ v ≤ (n − 1) V ^∗ (x) c −

ein Konfidenzbereich f¨ ur ϑ zum Irrtumsniveau α ist. Dabei bezeichnet M das Stichpro-

benmittel und V ^∗ die korrigierte Stichprobenvarianz. Machen Sie eine Skizze von C(x)

f¨ ur einen fixierten Beobachtungswert x ∈ R ⁿ .