Aufgabe 1 (Zweistichproben-Problem im Gauß-Modell mit bekannter Varianz). Seien X 1 , . . . , X n , Y 1 , . . . , Y n unabh¨ angige Zufallsvariablen. Jedes X i habe die Verteilung N m,v und jedes Y j die Verteilung N m

Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 6

Abgabe am 14.01.2014 in der Vorlesung

Aufgabe 1 (Zweistichproben-Problem im Gauß-Modell mit bekannter Varianz). Seien X ₁ , . . . , X _n , Y ₁ , . . . , Y _n unabh¨ angige Zufallsvariablen. Jedes X _i habe die Verteilung N _m,v und jedes Y _j die Verteilung N _m

_,v ; dabei seien die Erwartungswerte m, m ⁰ unbekannt, aber v > 0 bekannt. Konstruieren Sie zu einem vorgegebenen Irrtumsniveau α einen Konfidenzkreis f¨ ur (m, m ⁰ ).

Aufgabe 2 (Konfidenzintevall im Gaußschen Produktmodell). Betrachten Sie das Gauß- sche Produktmodell ( R ⁿ , B ⁿ , N _m,v ^⊗n : m ∈ R , v > 0) mit dem unbekannten Parameter ϑ = (m, v) ∈ R × (0, ∞) =: Θ. Zu gegebenen α ∈ (0, 1) seien

• β _± = (1 ± √

1 − α)/2,

• u = φ ⁻¹ (β ₊ ) das β ₊ -Quantil der N _0,1 -Verteilung sowie

• c ± = χ ² _n−1;β

die β ± -Quantile der χ ² _n−1 -Verteilung.

Zeigen Sie, dass

C(x) =

(m, v) ∈ Θ : |m − M (x)| ≤ u r v

n , (n − 1) V ^∗ (x)

c ₊ ≤ v ≤ (n − 1) V ^∗ (x) c −

ein Konfidenzbereich f¨ ur ϑ zum Irrtumsniveau α ist. Dabei bezeichnet M das Stichpro- benmittel und V ^∗ die korrigierte Stichprobenvarianz. Machen Sie eine Skizze von C(x) f¨ ur einen fixierten Beobachtungswert x ∈ R ⁿ .

Aufgabe 3 (Konfidenzintervalle im Binomialmodell). Sei p ein unbekannter Parameter aus dem Intervall [0, 1]. Seien Y ₁ , . . . Y ₂₅₀₀ unabh¨ angige Bernoulli-verteilte Zufallsvaria- blen mit P (Y _i = 1) = p = 1 − P (Y _i = 0) f¨ ur alle i = 1, . . . , 2500, S := P 2500

i=1 Y _i und J :=

3 10 , 4

10

(a) Bei einer Auswertung der Zufallsvariablen Y ₁ , . . . Y ₂₅₀₀ ergebe sich S = 875 . Zeigen oder widerlegen Sie: J ist ein Konfidenzintervall (aufgrund des angegebenen Wertes f¨ ur S) f¨ ur den Parameter p zum Irrtumsniveau α = ₁₀₀ ¹ .

(b) Bei einer Auswertung der Zufallsvariablen Y ₁ , . . . Y ₂₅₀₀ ergebe sich S = 675 . Zeigen

oder widerlegen Sie: J ist ein Konfidenzintervall (aufgrund des angegebenen Wertes

f¨ ur S) f¨ ur den Parameter p zum Irrtumsniveau α = ₁₀₀ ¹ .

Aufgabe 4 (Konfidenzintervall im Gaußschen Produktmodell II).

(a) Sei m ∈ R und v > 0. Seien X 1 , . . . , X n unabh¨ angige N m,v -verteilte Zufallsvariablen.

Wie ist dann P n

i=1 (X _i − m) ² /v verteilt?

(b) Sei m ∈ R und α ∈ (0, 1). Wir betrachten das statistische Modell M = R ⁿ , B ⁿ , N _m,v ^⊗n : v > 0

. Zeigen Sie, dass C : R ⁿ → P ( R ),

C(X) =

nV _n (X)

χ ² _n (1 − α/2) , nV _n (X) χ ² _n (α/2)

ein Konfidenzintervall f¨ ur die Varianz v zum Irrtumsniveau α ist. Hierbei ist

V _n (X) = 1 n

n

X

i=1

(X _i − m) ²

und f¨ ur t > 0 ist χ ² _n (t) das t-Quantil der Chiquadratverteilung mit n Freiheitsgraden.