Aufgabe 1. Es seien X und Y unabh¨ angige Zufallvariablen und Z = X + Y . Bestimmen Sie die Verteilung von Z falls

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 10

Abgabe bis 30.Juni / 1.Juli 07:30

Aufgabe 1. Es seien X und Y unabh¨ angige Zufallvariablen und Z = X + Y . Bestimmen Sie die Verteilung von Z falls

(a) X und Y mit den Parametern λ und µ Poisson-verteilt sind.

(b) X und Y mit den Parametern (µ ₁ , σ ² ₁ ) und (µ ₂ , σ ² ₂ ) normalverteilt sind.

(c) X und Y mit den Parametern (n 1 , p) und (n 2 , p) binomialverteilt sind.

Aufgabe 2. Es sei (X _n ) n∈ N eine Folge unabh¨ angiger, reellwertiger Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( R , B( R ), P ). Jedes X _n besitze eine Dichte f _n . Ferner sei N : R → N eine Zufallsvariable, die von (X n ) n∈ N unabh¨ angig ist. Zeigen Sie:

(a) Die zuf¨ allige Summe

S(ω) :=

N (ω)

X

n=1

X _n (ω) ist eine Zufallsvariable.

(b) Die Funktion P ∞

n=1 P ({N = n}) · (f ₁ ∗ . . . ∗ f _n ) ist eine Dichte von S.

Hinweise: Sei X eine Zufallsvariable auf ( R , B( R ), P ). Eine Funktion f _X : R → [0, ∞) heißt Wahrscheinlichkeitsdichte von X (bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes), falls f¨ ur alle A ∈ B( R ) gilt

P ({X ∈ A}) = Z

A

f _X (t)dt.

Es k¨ onnte hilfreich sein, f¨ ur k ∈ N die Zufallsvariable S _k (ω) = P k

n=1 X _n (ω) zu definieren.

Aufgabe 3. Sei K = {x = (x ₁ , x ₂ ) ∈ R ² : |x| ≤ 1} die Einheitskreisscheibe und Z =

(Z ₁ , Z ₂ ) eine K-wertige Zufallsvariable (auf einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum

(Ω, A, P )) mit Gleichverteilung U _K auf K. Stellen Sie Z in Polarkoordinaten (R, ψ) dar

und zeigen Sie, daß die Zufallsvariablen R und ψ unabh¨ angig sind. Welcher Verteilung

gen¨ ugt ψ und R ² ?

Aufgabe 4. Die i-te Randverteilung der gemeinsamen Verteilung µ _(X

_,...,X

₎ von X ₁ , . . . , X _n : Ω → R ist die Verteilung µ _X

von X _i .

Es seien X und Y zwei reellwertige Zufallsvariablen ¨ uber einem Wahrscheinlichkeits- raum (Ω, A, P ) mit der gemeinsamen Dichtefunktion f : R ² → [0, ∞),

f (x, y) =

( 2e ^−x−y falls 0 < x < y,

0 sonst.

Bestimmen Sie die Randverteilungsdichten. Sind X und Y unabh¨ angig?

Zusatzaufgabe 1. Seien X ₁ , X ₂ , . . . unabh¨ angig und exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Zeigen Sie

lim sup

n→∞

X _n log n = 1

λ P -fast sicher.