Aufgabe 3 (a) Bringen Sie die folgenden beiden Formeln in Skolem-Normalform. ∀x((¬∀y(x + y = y) → ∃y∃z(x + z + z = y + y)) ∧ ∀x∃y(x 6= y)) ∨ x + x = x x = y → (∃x(x 6= y) ∨ ((∀y(y = y)) → ∃y(x = y))) ∧ ∀x¬∃y¬∀z(x = z ∨ z = y) (b) Sei τ eine funktionale Si

Aufgabe 3

(a) Bringen Sie die folgenden beiden Formeln in Skolem-Normalform.

∀x((¬∀y(x+y =y)→ ∃y∃z(x+z+z=y+y))∧ ∀x∃y(x6=y))∨x+x=x x=y→(∃x(x6=y)∨((∀y(y=y))→ ∃y(x=y)))∧ ∀x¬∃y¬∀z(x=z∨z=y) (b) Sei τ eine funktionale Signatur, und sei A eine τ-Struktur mit Universum A. Sei τ_R =

{Rf | f ∈ τ}, wobei R_f ein n+ 1-stelliges Relationssymbol ist, wenn f eine n-stellige Funktion ist. DieRelationalisierung R(A) ist dieτ_R-Struktur, die man erhält, wenn man jede Funktionf^A durch ihren Graph ersetzt.

Sei ϕ ∈ FO(τ) eine Formel. Zeigen Sie, dass eine Formel ϕ^′ ∈ FO(τ_R) existiert, so dass für alle τ-StrukturenAgilt:

A|=ϕgenau dann, wenn R(A)|=ϕ^′.

Hinweis: Benutzen Sie, dass zu jeder Formel eine äquivalente Formel existiert, die term- reduziert ist.

Lösung:

(a) ∀x((¬∀y(x+y=y)→ ∃y∃z(x+z+z=y+y))∧ ∀x∃y(x6=y))∨x+x=x

≡∀x((∀y(x+y=y)∨ ∃y∃z(x+z+z=y+y))∧ ∀x∃y(x6=y))∨x+x=x

≡∀x^′((∀y(x^′+y=y)∨ ∃y^′∃z(x^′+z+z=y^′+y^′))∧ ∀x^′′∃y^′′(x^′′6=y^′′))∨x+x=x

≡∀x^′∀y∃y^′∃z∀x^′′∃y^′′((x^′+y =y∨x^′+z+z=y^′+y^′)∧x^′′6=y^′′)∨x+x=x

Seien f_y′, f_z neue 2-stellige Funktionssymbole, und f_y′′ ein neues 3-stelliges Funktionssymbol.

∀x^′∀y∀x^′′((x^′+y=y∨x^′+f_zx^′y+f_zx^′y =f_y′x^′y+f_y′x^′y)∧x^′′6=f_y′′x^′yx^′′)∨x+x=x

x=y→(∃x(x6=y)∨((∀y(y=y))→ ∃y(x=y)))∧ ∀x¬∃y¬∀z(x=z∨z=y)

≡x6=y∨(∃x(x6=y)∨ ∃y(y6=y)∨ ∃y(x=y))∧ ∀x∀y∀z(x=z∨z=y)

≡x6=y∨(∃x^′(x^′ 6=y)∨ ∃y^′(y^′ 6=y^′)∨ ∃y^′′(x=y^′′))∧ ∀x^′′∀y^′′′∀z(x^′′=z∨z=y^′′′)

≡∃x^′∃y^′∃y^′′∀x^′′∀y^′′′∀z(x6=y∨x^′ 6=y∨y^′6=y^′∨x=y^′′)∧(x^′′=z∨z=y^′′′) Seienc_x′, c_y′, c_y′′ 3 neue Konstantensymbole.

∀x^′′∀y^′′′∀z(x6=y∨c_x′ 6=y∨c_y′ 6=c_y′∨x=c_y′′)∧(x^′′=z∨z=y^′′′)