Aufgabe 2. (a) Seien X 1 , . . . , X n unabh¨ angige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes auf R :

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 12

Abgabe bis 05. Juli 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Sei K = {x = (x 1 , x 2 ) ∈ R ² : |x| ≤ 1} die Einheitskreisscheibe und Z = (Z 1 , Z 2 ) eine K-wertige Zufallsvariable (auf einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P )) mit Gleich- verteilung U _K auf K. Stellen Sie Z in Polarkoordinaten (R, ψ) dar und zeigen Sie, daß die Zufallsvariablen R und ψ unabh¨ angig sind. Welcher Verteilung gen¨ ugt ψ und R ² ?

Aufgabe 2. (a) Seien X ₁ , . . . , X _n unabh¨ angige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes auf R :

P ({X _i ∈ B}) = Z

B

f _X

(t)dt, B ∈ B( R ).

Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X ₁ , . . . , X _n ist absolutstetig bez¨ uglich des Lebes- guemaßes auf R ⁿ mit Dichte

f (t 1 , . . . , t n ) =

n

Y

i=1

f X

(t i ).

(b) Umgekehrt seien X ₁ , . . . , X _n reellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung ab- solutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:

f (t 1 , . . . , t n ) =

n

Y

i=1

f i (t i ), f i : R → [0, ∞) messbar.

Zeigen Sie: X ₁ , . . . , X _n sind unabh¨ angig und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dichten f X

= f i

R

R f _i (t)dt , 1 ≤ i ≤ n.

Aufgabe 3. Die i-te Randverteilung der gemeinsamen Verteilung µ _(X

_,...,X

₎ von X ₁ , . . . , X _n : Ω → R ist die Verteilung µ X

von X i .

Es seien X und Y zwei reellwertige Zufallsvariablen ¨ uber einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit der gemeinsamen Dichtefunktion f : R ² → [0, ∞),

f (x, y) =

( 2e ^−x−y falls 0 < x < y,

0 sonst.

Bestimmen Sie die Randverteilungsdichten. Sind X und Y unabh¨ angig?

Aufgabe 4. Seien X ₁ , X ₂ , . . . unabh¨ angig und exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Zeigen Sie

lim sup

n→∞

X _n log n = 1

λ P -fast sicher.

Zusatzaufgabe (2 Zusatzpunkte). Ω sei eine beliebige nicht-leere Menge. F¨ ur eine Folge (A _n ) n∈ N

von Teilmengen von Ω wurde in der Vorlesung defniert:

lim sup

n→∞ A n :=

∞

\

n=1

∞

[

k=n

A _k und lim inf

n→∞ A n :=

∞

[

n=1

∞

\

k=n

A _k .

(a) Zeigen Sie, dass

1 _{lim inf}

_A

= lim inf

n→∞ 1 _A

und

1 _{lim sup}

_A

= lim sup

n→∞

1 _A

wobei 1 B die Indikatorfunktion der Menge B ist, d.h.:

1 _B (ω) =

( 1 falls ω ∈ B, 0 sonst.

Zusatzaufgabe (2 Zusatzpunkte). Geben Sie einen Maßraum (Ω, A, µ) und Folgen (f _n ) n∈ N , (g _n ) n∈ N , (h _n ) n∈ N von µ-integrierbaren reellwertigen Funktionen an, die jeweils punktweise (d.h.

f¨ ur alle ω ∈ Ω) gegen Null konvergieren, und f¨ ur die gilt:

(a) lim

n→∞

Z

R

f n (t)dµ(t) = ∞.

(b) lim

n→∞

Z

R

g n (t)dµ(t) = 1.

(c) lim sup

n→∞

Z

R

h n (t)dµ(t) = 1,und lim inf

n→∞

Z

R

h n (t)dµ(t) = −1.

Nennen Sie Grenzwerts¨ atze, welche notwendige Voraussetzungen beschreiben um Grenzwert und

Integral zu vertauschen. Warum sind diese hier nicht anwendbar.