Prof. Dr. Uwe K¨uchler Institut f¨ur Mathematik
Statistik stochastischer Prozesse 3. ¨ Ubung, 17. 05. 2006
1. Es seien P und Q zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem meßbaren Raum (Ω, A), (X
n, n ≥ 1) eine Folge reellwertiger Zufallsgr¨oßen ¨uber (Ω, A), die bez¨uglich P und bez¨uglich Q voneinander unabh¨angig sind, und deren Verteilungen P
nbzw. Q
nge- geben sind durch
P
n(B) = P (X
n∈ B ), Q
n(B ) = Q(X
n∈ B), B ∈ B
1, n ≥ 1.
Es gelte Q
n¿ P
nund es sei
f
n:= dQ
ndP
n, ς
n:=
Z
R1
f
n12dP
n, n ≥ 1.
a) Man zeige: F¨ur jedes n ≥ 1 ist das Produktmaß Q
(n):= Q
nk=1
Q
kabsolutstetig bez¨uglich P
(n):= Q
nk=1
P
k. b) Man berechne
L
n(x) = dQ
(n)dP
(n)(x), x = (x
1, x
2, · · · , x
n) ∈ R
nc) Mit P
∞bzw. Q
∞wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung von (X
n, n ≥ 1) bez.
P bzw. Q auf (R
∞, B
∞) mit B
∞= Q
∞k=1
⊗
B
1bezeichnet. Man beweise:
(L
n(x), Q
n1
⊗
B
1) ist bez¨uglich P
∞ein nichtnegatives Martingal und (L
n12(x), Q
n1
⊗
B
1) ist bez. P
∞ein nichtnegatives Supermartingal.
1
d) Man schlussfolgere mittels c), dass Q
∞entweder absolutstetig bez. P
∞oder singul¨ar zu P
∞ist, je nachdem, ob Q
∞k=1
ς
k> 0 oder = 0 gilt.
(Aufgabe 1d) erfordert Stoff, der in der Vorlesung sp¨ater behandelt wird.)
2. Es seien (Ω, F , P ) ein statistisches Modell mit % = (P
ϑ, ϑ ∈ Θ) und (F
t)
t≥0eine Filtration in F . Mit τ werde eine (F
t)-Stoppzeit bezeichnet: τ|Ω → [0, ∞] mit {τ ≤ t} ∈ F
t, t ≥ 0. P
ϑFtsei dominiert durch ein P
Ft(ϑ
0∈ Θ, fest gew¨ahlt) f¨ur jedes t ≥ 0.
L
t(ϑ; ω) := dP
ϑ|FtdP
ϑ0|Ft(ω).
Man zeige, dass f¨ur jedes A ∈ F
τgilt:
P
ϑ(A ∩ {τ < ∞}) = Z
A∩{τ <∞}
