Prof. Dr. Uwe K¨uchler Institut f¨ur Mathematik Statistik stochastischer Prozesse 1. ¨Ubung, 19. 04. 2006 1. Es sei X eine reellwertige Zufallsgr¨oße mit F als Verteilungsfunktion. Man zeige: a) Die Menge I

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik

Statistik stochastischer Prozesse 1. ¨ Ubung, 19. 04. 2006

1. Es sei X eine reellwertige Zufallsgr¨ oße mit F als Verteilungsfunktion.

Man zeige:

a) Die Menge I _F := {u ∈ R ₁ |

Z

R

exp(ux)F (dx) < ∞}

ist ein Intervall, das die Null enth¨ alt.

b) Ist 0 ∈ I ^o F so ist die Funktion ψ _F (u) := ln

Z

R

exp(ux)F (dx)

auf I ^o F unendlich oft differenzierbar mit ψ ⁰ (0) = EX und ψ ⁰⁰ (0) = D ² X.

ψ _F heißt Kumulantenfunktion der Verteilungsfunktion F . c) Durch

F _u (x) :=

x

Z

−∞

exp[ux − ψ _F (u)]dF (x)

ist eine Familie (F u |u ∈ I F ) von Verteilungsfunktionen definiert, die sogenannte von F erzeugte Exponentialfamilie.

d) Man berechne Erwartungswert und Streuung von X bez¨ uglich F u . e) Man gebe die von folgenden Verteilungsfunktionen erzeugten Expo-

nentialfamilien an:

Exp(λ), Poisson (λ), Γ(α, λ), N(µ, σ ² )

2. Der Poissonprozess (N _t , t ≥ 0) mit dem Parameter λ > 0 ist ein stocha-

stischer Prozess mit

i) N ₀ = 0 P _λ -fast sicher

ii) F¨ ur alle t ₀ , t ₁ , · · · , t _n mit 0 ≤ t ₀ < t ₁ < · · · < t _n sind die Zuw¨ achse N _t

− N _t

, k = 1, · · · , n voneinander unabh¨ angig.

iii) N _t − N _s ∼ Poisson (λ(t − s)).

a) Man berechne f¨ ur 0 < t ₁ < t ₂ < · · · < t _n und f¨ ur s < t die Wahr- scheinlichkeiten P _λ (N _t

= i ₁ , · · · , N _t

= i _n ) und P _λ (N _s = i|N _t = j).

b) Die Werte N s , s ≤ t m¨ ogen beobachtet worden sein. Auf der Basis dieser Werte konstruiere man einen Sch¨ atzer f¨ ur λ.

3. Es sei (Ω, F, P ) ein statistisches Modell mit P = (P _ϑ , ϑ ∈ Θ) und mit einem dominierenden Wahrscheinlichkeitsmaß P . Weiterhin sei H eine Teil-σ-Algebra von F.

Man zeige, dass f¨ ur jede positive Zufallsgr¨ oße Y gilt:

E _ϑ (Y | H ) = E[L(ϑ)Y | H ]

E[L(ϑ)| H ] auf {E[L(ϑ)| H ] > 0}

= 0 auf {E[L(ϑ)| H ] = 0}

4. Es seien P und Q zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, F) und H eine Teil-σ-Algebra von F. Beweisen Sie:

Wenn Q absolutstetig zu P ist, so ist Q| _H absolutstetig zu P | _H , und es gilt

dQ| _H

dP | _H = E _P dQ dP | H

Folgerung: Ist ( H n ) eine wachsende Folge von Teil-σ-Algebren von F mit F = W

n

H n , so gilt

dQ

dP = lim

n→∞

dQ _n

dP _n

mit Q _n = Q| _H

, P _n = P | _H

. Begr¨ undung?