1. Die Gammafunktion t → Γ(t) ist f¨ur t > 0 definiert durch

Prof. Dr. Uwe K¨uchler Institut f¨ur Mathematik

Statistik stochastischer Prozesse 2. ¨ Ubung, 07. 05. 2007

1. Die Gammafunktion t → Γ(t) ist f¨ur t > 0 definiert durch

Γ(t) = Z ∞

0

x ^t−1 e ^−x dx

.

a) Man zeige, dass gilt

Γ(t + 1) = tΓ(t), t > 0, Γ(n + 1) = n!

2. Die Gammaverteilung Γ(α, λ) mit den Parametern α > 0 und λ > 0 ist definiert durch ihre Dichte

f(x) = λ ^α

Γ(α) x ^α−1 e ^−λx 1 (0,∞) (x), x ∈ R.

Berechnen Sie die kumulantenerzeugende Funktion

ϕ(u) = ln Z ∞

0

e ^ux f(x)dx, u < λ

der Γ(α, λ)-Verteilung und damit die n-te Kumulante κ _n .

3. Es seien (N (t), t ≥ 0) ein Poissonprozess mit dem Parameter λ > 0 und (Y _n , n ≥ 1) eine Folge reellwertiger, unabh¨angiger, identisch ver- teilter Zufallsgr¨oßen mit der Verteilungsfunktion F , die außerdem von (N (t), t ≥ 0) unabh¨angig seien.

Durch

X(t) =

N (t)

X

k=1

Y k , t ≥ 0 mit X

k=1

Y k := 0

ist ein sogenannter zusammengesetzter Poissonprozess definiert. Man skizziere eine typischen Trajektorienverlauf von (X(t), t ≥ 0) und be- rechne

ϕ(u, t) = lnEe ^uX(t) , u ∈ {v ∈ R 1 | Z

R

e ^vx F (dx) < ∞}, t > 0.

4. Es sei (X _n , n ≥ 1) eine zeitlich homogene Markovsche Kette mit abz¨ahl- barem Zustandsraum E = {i, j, · · · , k, · · ·}, den ¨ Ubergangswahrschein- lichkeiten (p _ij (ϑ), i, j ∈ E und der Anfangsverteilung (π _i (ϑ), i ∈ E), ϑ ∈ Θ ⊆ R _k .

Man berechne die Likelihoodfunktion

L n (ϑ; i 0 , i 1 , · · · , i n ) = P ϑ (X 0 = i 0 , X 1 = i 1 , · · · , X n = i n ) .

Man bestimme eine Maximum-Likelihood-Sch¨atzung f¨ur µ(ϑ) := X

j≥0

jp _j (ϑ) falls (X _n , n ≥ 1) ein Verzweigungsprozess ist mit der Nachkommensver- teilung

p _j (ϑ) = ϑ ^j p _i

[ϕ(ϑ)] ^j , j ≥ 0

mit p _j ≥ 0(j ≥ 0), X ∞

j=0

p _j = 1 und

ϑ ∈ Θ := n X

j≥0

ϑ ^j p _j =: ϕ(ϑ) < ∞ o

.