Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik
Statistik stochastischer Prozesse
3. ¨ Ubung, 30. 05. 2005
1. Es sei (X(t), t ≥ 0) ein reellwertiger Wienerscher Prozeß ¨ uber einen Wahrschein- lichkeitsraum (Ω,
A, P ) mit EX(t) ≡ 0 und D
2X(t) = σ
2t f¨ ur ein σ
2> 0. Weiterhin seien T > 0 und ζ
k:= {t
(n)0, t
(n)1, . . . , t
(n)n} mit 0 = t
(n)0< t
1< . . . < t
(n)n= T < ∞ eine Folge von Zerlegungen von [0, T ] mit
λ(ζ
n) := max
k=1,...,n
(t
(n)k− t
(n)k−1) −→
n→∞
0 Man zeige:
Die Folge der Zufallsgr¨ oßen V
n2:=
n
X
k=1
(X(t
(n)k) − X(t
(n)k−1))
2konvergiert im L
2-Sinne gegen die Zahl σ
2· T . Gilt
Xn≥1
λ(ζ
n) < ∞, so erfolgt die Konvergenz auch P -fast sicher.
2. Es seien X
n, n ≥ 1, reellwertige Zufallsgr¨ oßen ¨ uber (Ω,
A) und P, Q zwei Wahrschein- lichkeitsmaße auf
A. Die Zufallsgr¨ oßen X
n, n ≥ 1, m¨ ogen sowohl bez. P als auch bez. Q voneinander unabh¨ angig sein und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen F
nbzw. G
nbesitzen:
F
n(B) := P (X
n∈ B), G
n(B) := Q(X
n∈ B), B ∈
B1.
Es gelte F
n<< G
n, n ≥ 1, und mit f
nwerde die Radon-Nikodym-Ableitung
dGdFnn
bezeichnet, n ≥ 1.
Was ergibt sich f¨ ur f
n, wenn F
n= N (µ
n, σ
2) und G
n= N (0, σ
2) gilt?
Man zeige, daß die deterministische Likelihoodfunktion f¨ ur die Stichprobe X
(n):=
(X
1, X
2, . . . , X
n) gegeben ist durch L
X(n)(P, Q; x) =
n
Y
k=1
f
k(x
k), x = (x
1, x
2, . . . , x
n).
Man berechne L
X(n)(P, Q; x) f¨ ur F
n= N (µ
n, 1) und G
n= N (0, 1).
1
3. (Fortsetzung von 2.)
Wir setzen
An:= σ(X
1, X
2, . . . , X
n), d.h.
Anist die kleinste Teil-σ-Algebra von
A, bez. der X
1, X
2, . . . , X
nmeßbar sind.
Beweisen Sie: f¨ ur die Einschr¨ ankungen P
n:= P |
Anund Q
n:= Q|
Angilt P
n<< Q
n. Weisen Sie nach, daß
L
n:= dP
ndQ
n=
n
Y
k=1
f
k(X
k) richtig ist.
Uberzeugen Sie sich davon, daß (L ¨
n,
An, n ≥ 1) ein nichtnegatives Q-Martingal und (L
1
n2
