Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik
Statistik stochastischer Prozesse 2. ¨ Ubung, 03. 05. 2006
1. Es sei (Z
n, n ≥ 0) ein Verzweigungsprozess mit der Nachkommensverteilung p
j(ϑ) = ϑ
jp
j[ϕ(ϑ)]
j, j ≥ 0 mit p
j≥ 0 (j ≥ 0),
∞
X
j=0
p
j= 1 und ϑ ∈ Θ := {
Xj≥0
ϑ
jp
j=: ϕ(ϑ) < ∞}.
Das bedeutet, Z
nist die Anzahl der Individuen in einer bestimmten Population zur Zeit n (d.h., in der n-ten Generation). Jedes Individum erzeugt in einer Zeiteinheit unabh¨ angig von den anderen und von der Vergangenheit eine zuf¨ allige Anzahl von neuen Individuen, diese Anzahl habe die Verteilung (p
j(ϑ), j ≥ 0), der Parameter ϑ sei unbekannt.
Man berechne:
a) Die Likelihoodfunktion
L
n(ϑ; i
1, i
2, · · · , i
n) = P
ϑ(Z
1= i
1, Z
2= i
2, · · · , Z
n= i
n) b) Eine Maximum-Likelihood Sch¨ atzung f¨ ur ϑ
c) E
ϑZ
n, Var
ϑ(Z
n)
d) Man gebe eine Maximum-Likelihood Sch¨ atzung f¨ ur µ(ϑ) =
∞
X
k=1
kp
k(ϑ) an.
2. Es sei (X
n)
0≤n≤Neine Markovsche Kette auf dem Zustandsraum {0, 1} mit X
0= i
0∈ {0, 1} und den ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten p
0= IP (X
n+1= 1|X
n= 0), q
0= IP (X
n+1= 0|X
n= 0), p
1= IP (X
x+1= 0|X
n= 1) und q
1= IP (X
n+1= 1|X
n= 1).
a) Stellen Sie die Likelihoodfunktion auf und bestimmen Sie Maximum-Likelihood- sch¨ atzungen von p
0, q
0, p
1, q
1.
b) Untersuchen Sie die erhaltenen Sch¨ atzungen hinsichtlich Erwartungstreue und Streuung.
1
3. Es seien (N (t), t ≥ 0) ein Poissonprozess mit dem Parameter λ > 0, (Y
k, k ≥ 1) eine Folge unabh¨ angiger identisch verteilter Zufallsgr¨ oßen mit der st¨ uckweise stetigen Dichte f
ϑ(·) , (ϑ ∈ Θ ⊆ R
1). Es gelte: {f
ϑ> 0} ist unabh¨ angig von ϑ. Durch X(t) =
N(t)
X
k=1
