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Institut f¨ur Mathematik

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. Uwe K¨uchler Sommersemester 2007 Dr. Renate Winkler

Institut f¨ur Mathematik

Stochastik I 8. Zusatz¨ ubung

1) Es seien X

1

, X

2

, . . . unabh¨angige, identisch verteilte Zufallsgr¨oßen, und zwar gleichm¨aßig verteilt auf [0, 1]. Weiterhin sei c ∈ (0, 1) fest gew¨ahlt.

Wir definieren

N = min{k ≥ 1|X

k

> c}, X

N

= X

n

auf {N = n}.

a) Man zeige P (N < ∞) = 1.

b) Man bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von N und X

N

. c) Sind N und X

N

voneinander unabh¨angig?

2) X und Y seien Standard-Normalverteilt und unabh¨angig. Man berechne die Dichte von V =

XY

.

Hinweis: Berechnen Sie zun¨achst die Verteilung von (U, V ) mit U = X.

(Die Verteilung von V heißt Cauchyverteilung.)

3) X und Y seien unabh¨angig und geometrisch verteilt mit dem Parameter p ∈ (0, 1). Man berechne

P (X = i|X + Y = n), 0 ≤ i ≤ n, n ≥ 0.

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