Aufgabe 1 (Starkes Gesetz der großen Zahlen). Es sei p ∈ (0, 1), und es seien X 1 , X 2 , . . . unabh¨ angige, identisch verteilte Zufallsgr¨ oßen mit P {X i = 1} = 1 − P {X i = 0} = p f¨ ur alle i ∈ N .

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Ubungsblatt 5 ¨

Aufgabe 1 (Starkes Gesetz der großen Zahlen). Es sei p ∈ (0, 1), und es seien X ₁ , X ₂ , . . . unabh¨ angige, identisch verteilte Zufallsgr¨ oßen mit P {X _i = 1} = 1 − P {X _i = 0} = p f¨ ur alle i ∈ N .

(a) Zeigen Sie, dass f¨ ur a ∈ (p, 1) und s ∈ R ⁺ gilt

P n 1

n

n

X

i=1

X i > a o

≤ e ^−nas E {e ^sX

} n

, n = 1, 2, . . . .

(b) Beweisen Sie f¨ ur a ∈ (p, 1) und n ∈ N die Absch¨ atzung

P n 1

n

n

X

i=1

X _i > a o

≤ e ^−nh(a,p) , wobei h(a, p) = a log a

p + (1 − a) log 1 − a 1 − p .

(c) Folgern Sie unter Verwendung des Lemmas von Borel Cantelli, dass gilt

lim sup

n→∞

1 n

n

X

i=1

X _i ≤ p P -fast sicher.

In analoger Weise folgt lim inf n→∞ 1 n

P n

i=1 X _i ≥ p P -fast sicher, und damit ist in dieser Situation das starke Gesetz der großen Zahlen bewiesen, n¨ amlich

n→∞ lim 1 n

n

X

i=1

X _i = p P -fast sicher.

Zeigen Sie weiterhin, daß die Absch¨ atzung von (b) in folgendem Sinne optimal ist:

lim inf

n→∞

1 n ln P

n 1 n

n

X

i=1

X _i > a o

≥ −h(a, p).

Satz 1 (Portmanteau). Seien µ, µ _n (n ∈ N ) Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Maßraum (S, B(S)) und F, F n (n ∈ N ) die zugeh¨ origen Verteilungsfunktionen. Weiterhin sei S(F ) =

{x ∈ R | F stetig in x}. Dann sind ¨ aquivalent

(i) µ _n → ^w µ, d.h. µ _n konvergiert schwach gegen µ

(ii) f¨ ur alle gleichm¨ aßig stetigen und beschr¨ ankten Funktionen f : S → C gilt Z

S

f dµ _n → Z

S

f dµ.

(iii) f¨ ur alle x ∈ S(F ) gilt

n→∞ lim F _n (x) = F (x).

Aufgabe 2. Beweisen Sie Satz 1.