Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. I. Veseli´ c, Dr. M. Tautenhahn
Hausaufgabe 4
Abgabe am 03.12.2013 in der Vorlesung
Aufgabe 1 (Additivit¨ at der Fischer-Information). Sei M = (X , F , P
ϑ: ϑ ∈ Θ) ein regul¨ ares Modell mit Fischer-Information I. Zeigen Sie, dass das Produktmodell M
⊗n= (X
n, F
⊗n, P
⊗nϑ: ϑ ∈ Θ) f¨ ur jedes n ∈ N die Fischer Information nI hat.
Aufgabe 2 (Konsistenz – Zweiseitige Exponentialverteilung). Gegeben sei das statisti- sche Produktmodell ( R
n, B( R
n), Q
⊗nϑ: ϑ ∈ R ). Dabei sei Q
ϑdie sogenannte zweiseitige Exponentialverteilung oder Laplace-Verteilung mit Zentrum ϑ, d. h. das Wahrscheinlich- keitsmaß auf ( R , B( R )) mit Dichtefunktion ρ
ϑ: R → R ,
ρ
ϑ(x) = 1
2 e
−|x−ϑ|.
F¨ ur jedes n ∈ N sei T
nein beliebiger Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer aufgrund von n unabh¨ angigen Beobachtungen. Zeigen Sie, dass die Folge (T
n)
n∈Nkonsistent ist.
Aufgabe 3 (Maximum-Likelihood – diskrete Verteilung). Von einer Schmetterlingsart gebe es drei Varianten 1, 2 und 3 in den Proportionen
p
1(ϑ) = ϑ
2, p
2(ϑ) = 2ϑ(1 − ϑ) und p
3(ϑ) = (1 − ϑ)
2,
wobei ϑ ∈ [0, 1] ein unbekannter Parameter ist. Unter n gefangenen Schmetterlingen dieser Art beobachten Sie n
iExemplare der Variante i, i = 1, 2, 3. Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer T f¨ ur ϑ. Vergessen Sie nicht, die Grenzf¨ alle n
1= n und n
3= n zu betrachten.
Aufgabe 4 (Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit). Im Jahre 1879 machte der ameri- kanische Physiker (und Nobel-Preistr¨ ager) Albert Abraham Michelson f¨ unf Messreihen zu je 20 Messungen zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit; die Ergebnisse finden Sie unter http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/Michelson.html. Nehmen Sie an, daß die Messergebnisse normalverteilt sind, mit unbekanntem Mittelwert m und unbe- kannter Varianz v, und bestimmen Sie jeweils f¨ ur die erste und zweite Messreihe sowie f¨ ur die ersten beiden Messreihen zusammen ein Konfidenzintervall f¨ ur die Lichtgeschwin- digkeit zum Irrtumsniveau 0.02.
Bitte wenden!
Zusatzaufgabe (Sch¨ atzer f¨ ur Gleichverteilung). Wir betrachten das statistische Modell ( R
n, B
n, U
ϑ⊗n: ϑ ∈ R ), wobei U
ϑdie Gleichverteilung auf dem Intervall [ϑ − 1/2, ϑ + 1/2]
ist.
(a) Zeigen Sie, dass
T
n= 1 n
n
X
i=1
X
iund T ˜
n= 1 2
1≤i≤n
max X
i+ min
1≤i≤n
X
ierwartungswerte Sch¨ atzer f¨ ur ϑ sind. Hinweis: Beachten Sie die Verteilungssymme- trie der X
i.
(b) Berechnen Sie die Varianzen Var
ϑ(T
n) und Var
ϑ( ˜ T
n). Welchen Sch¨ atzer w¨ urden Sie f¨ ur die Benutzung empfehlen? Hinweis: Bestimmen Sie zun¨ achst f¨ ur n ≥ 3 und ϑ = 1/2 die gemeinsame Verteilungsdichte von min
1≤i≤nX
iund max
1≤i≤nX
iund anschließend die Verteilungsdichte von ˜ T
n. Benutzen Sie f¨ ur a, b > 0
B(a + 1, b) = a
a + b B(a, b), wobei
B(a, b) = Z
10
