Aufgabe 1 (Folgen falscher Modellwahl). Ein Experimentator macht n unabh¨ angige normalverteilte Messungen mit unbekanntem Erwartungswert m. Die Varianz v > 0 meint er zu kennen.

Technische Universit¨ at Chemnitz Mathematische Statistik, WS 14/15 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Dr. M. Tautenhahn

Ubungsblatt 3 ¨

Aufgabe 1 (Folgen falscher Modellwahl). Ein Experimentator macht n unabh¨ angige normalverteilte Messungen mit unbekanntem Erwartungswert m. Die Varianz v > 0 meint er zu kennen.

(a) Welches Konfidenzintervall f¨ ur m wird er zu einem vorgegebenen Irrtumsniveau α angeben?

(b) Der Experimentator hat sich geirrt. Die wahre Varianz ist nicht v sondern σ > 0.

Welches Irrtumsniveau α ⁰ hat das in (a) gefundene Konfidenzintervall, wenn die Varianz in Wirklichkeit σ ist? Das heißt, geben Sie ein (m¨ oglichst kleines) α ⁰ ∈ [0, 1]

an, so daß

m∈ inf R

N _m,σ ^⊗n {x ∈ R ⁿ : C(x) 3 m}

≥ 1 − α ⁰ ,

wobei C(x) das in (a) gefundene Konfidenzintervall ist. Diskutieren Sie den Grenzfall σ → ∞.

Aufgabe 2 (Konfidenzpunkte). Gegeben sei das Gauß-Produktmodell mit bekannter Varianz v > 0 und unbekanntem ganzzahligen Erwartungswert, also ( R ⁿ , B ⁿ , P ϑ : ϑ ∈ Z ) mit P ϑ = N _ϑ,v ^⊗n . Sei ni : R → Z die ”nearest-integer-Funktion”, d. h. f¨ ur x ∈ R sei ni(x) ∈ Z die ganze Zahl mit kleinstem Abstand von x, mit der Vereinbarung ni(z − 1/2) = z f¨ ur z ∈ Z . Zeigen Sie:

(a) ˜ M = ni(M) ist ein Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur ϑ.

(b) ˜ M besitzt unter P ϑ die diskrete Verteilung P ϑ ( ˜ M = k) = Φ(a ₊ (k)) − Φ(a − (k)) und ist erwartungstreu. Hier ist a ± (k) = (k − ϑ ± 1/2) p

n/v und Φ(t) = N _0,1 ((−∞, t)).

(c) F¨ ur beliebiges α > 0 und hinreichend großes n gilt inf ϑ∈ Z P ϑ ( ˜ M = ϑ) ≥ 1 − α.

Aufgabe 3 (Diskrete Gleichverteilung auf {1, 2, . . . , N }). Betrachten Sie die Situation von Aufgabe 1 von Hausaufgabenblatt 2. Sei T der dort gefundene Maximum-Likelihood- Sch¨ atzer f¨ ur N . Bestimmen Sie einen kleinstm¨ oglichen Konfidenzbereich f¨ ur N zum Niveau α der Gestalt C(x) = {T (x), . . . , cT (x)}.

Aufgabe 4 (Zweistichproben-Problem im Gauß-Modell mit bekannter Varianz). Seien

X ₁ , . . . , X _n , Y ₁ , . . . , Y _n unabh¨ angige Zufallsvariablen. Jedes X _i habe die Verteilung N _m,v

und jedes Y j die Verteilung N m

,v ; dabei seien die Erwartungswerte m, m ⁰ unbekannt,

aber v > 0 bekannt. Konstruieren Sie zu einem vorgegebenen Irrtumsniveau α einen

Konfidenzkreis f¨ ur (m, m ⁰ ).

Zusatzaufgabe 1 (Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit). Im Jahre 1879 machte der amerikanische Physiker (und Nobel-Preistr¨ ager) Albert Abraham Michelson f¨ unf Mess- reihen zu je 20 Messungen zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit; die Ergebnisse finden Sie unter http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/Michelson.html. Neh- men Sie an, daß die Messergebnisse normalverteilt sind, mit unbekanntem Mittelwert m und unbekannter Varianz v, und bestimmen Sie jeweils f¨ ur die erste und zweite Mess- reihe sowie f¨ ur die ersten beiden Messreihen zusammen ein Konfidenzintervall f¨ ur die Lichtgeschwindigkeit zum Irrtumsniveau 0.02.

Zusatzaufgabe 2 (Maximum Entropie). Sei C eine positiv definite symmetrische n × n Matrix und W _C die Klasse aller Wahrscheinlichekeitsmaße P auf ( R ⁿ , B ⁿ ) mit den Eigenschaften

(i) P ist zentriert mit Kovarianzmatrix C, d. h. f¨ ur die Projektionen X _i : R ⁿ → R gilt E (X i ) = 0 und Cov(X i , X j ) = C ij f¨ ur alle i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, und

(ii) P besitzt eine Dichtefunktion ρ, und es existiert die differentielle Entropie

H( P ) = − Z

R

ρ(x) log ρ(x) dx.

Zeigen Sie

H(N _n (0, C)) = n 2 log

2πe(det C) ^1/n

= max

P ∈W

H( P ).