Aufgabe 1 (Folgen falscher Modellwahl). Ein Experimentator macht n unabh¨ angige normalverteilte Messungen mit unbekanntem Erwartungswert m. Die Varianz v > 0 meint er zu kennen.

Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 5

Abgabe am 17.12.2013 in der Vorlesung

Aufgabe 1 (Folgen falscher Modellwahl). Ein Experimentator macht n unabh¨ angige normalverteilte Messungen mit unbekanntem Erwartungswert m. Die Varianz v > 0 meint er zu kennen.

(a) Welches Konfidenzintervall f¨ ur m wird er zu einem vorgegebenen Irrtumsniveau α angeben?

(b) Der Experimentator hat sich geirrt. Die wahre Varianz ist nicht v sondern σ > 0.

Welches Irrtumsniveau α ⁰ hat das in (a) gefundene Konfidenzintervall, wenn die Varianz in Wirklichkeit σ ist? Das heißt, geben Sie ein (m¨ oglichst kleines) α ⁰ ∈ [0, 1]

an, so daß

m∈ inf R

N _m,σ ^⊗n {x ∈ R ⁿ : C(x) 3 m}

≥ 1 − α ⁰ ,

wobei C(x) das in (a) gefundene Konfidenzintervall ist. Diskutieren Sie den Grenzfall σ → ∞.

Aufgabe 2 (Konfidenzpunkte). Gegeben sei das Gauß-Produktmodell mit bekannter Varianz v > 0 und unbekanntem ganzzahligen Erwartungswert, also ( R ⁿ , B ⁿ , P ^ϑ : ϑ ∈ Z ) mit P ϑ = N _ϑ,v ^⊗n . Sei ni : R → Z die ”nearest-integer-Funktion”, d. h. f¨ ur x ∈ R sei ni(x) ∈ Z die ganze Zahl mit kleinstem Abstand von x, mit der Vereinbarung ni(z − 1/2) = z f¨ ur z ∈ Z . Zeigen Sie:

(a) ˜ M = ni(M) ist ein Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur ϑ.

(b) ˜ M besitzt unter P ^ϑ die diskrete Verteilung P ^ϑ ( ˜ M = k) = Φ(a + (k)) − Φ(a − (k)) und ist erwartungstreu. Hier ist a ± (k) = (k − ϑ ± 1/2) p

n/v und Φ(t) = N _0,1 ((−∞, t)).

(c) F¨ ur beliebiges α > 0 und hinreichend großes n gilt inf ϑ∈ Z P ^ϑ ( ˜ M = ϑ) ≥ 1 − α.

Aufgabe 3 (Diskrete Gleichverteilung auf {1, 2, . . . , N }). Betrachten Sie die Situation von Aufgabe 1 von Hausaufgabenblatt 2. Sei T der dort gefundene Maximum-Likelihood- Sch¨ atzer f¨ ur N . Bestimmen Sie einen kleinstm¨ oglichen Konfidenzbereich f¨ ur N zum Niveau α der Gestalt C(x) = {T (x), . . . , cT (x)}.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (Bivariate Normalverteilung). Sei

C =

v ₁ c c v ₂

mit v 1 v 2 > c ² und φ : R ² → R ⁺ ,

φ _0,C (x) = 1

2π|det C| ^1/2 e ⁻

^x

^C

^x ,

die Dichtefunktion der zugeh¨ origen bivariaten zentrierten Normalverteilung. Zeigen Sie:

(a) Die H¨ ohenlinien {x ∈ R ² : φ _0,C (x) = h} mit 0 < h < (2π √

det C) ⁻¹ sind Ellipsen.

Bestimmen Sie die Hauptachsen! (Hinweis: Hauptachsentransformation)

(b) Die Schnitte R 3 t 7→ φ _0,C (a + tb) mit a, b ∈ R ² , b 6= 0 sind proportional zu eindimensionalen Gauß’schen Dichten φ _m,v .

Zusatzaufgabe (Maximum Entropie). Sei C eine positiv definite symmetrische n × n Matrix und W _C die Klasse aller Wahrscheinlichekeitsmaße P auf ( R ⁿ , B ⁿ ) mit den Eigenschaften

(i) P ist zentriert mit Kovarianzmatrix C, d. h. f¨ ur die Projektionen X _i : R ⁿ → R gilt E (X _i ) = 0 und Cov(X _i , X _j ) = C _ij f¨ ur alle i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, und

(ii) P besitzt eine Dichtefunktion ρ, und es existiert die differentielle Entropie

H( P ) = − Z

R

ρ(x) log ρ(x) dx.

Zeigen Sie

H(N _n (0, C)) = n 2 log

2πe(det C) ^1/n

= max

P ∈W

H( P ).