Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨

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Technische Universit¨at Berlin Wintersemester 2005/06

Fakult¨at II - Institut f¨ur Mathematik Vorlesung: Prof. Dr. J¨urgen G¨artner Ubung: Stephan Sturm¨

Sekretariat: Monika Michel, MA 7-5

Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨

5.Blatt Ubungen 15.11.05 ¨ Abgaben bis 22.11.05

Hausaufgaben

1.Aufgabe: Eine faire M¨unze wird wiederholt geworfen. Die ZufallsvariableXⁱ bezeichne das Ergebnis im i-ten Wurf (Xⁱ = 1 f¨ur Kopf, Xⁱ= 0 f¨ur Zahl). Es seiM eine gegebene 0-1-Folge der L¨angemund

Yⁿ:= (Xⁿ, . . . , Xn+m). Man zeige, dass die MengeA:={Yⁿ=Munendlich oft}in der Tail-σ-Algebra liegt.

2.Aufgabe: Es sei (Xⁿ) eine Folge unabh¨angiger, identisch verteilter Zufallsgr¨oßen mitP(Xⁱ= 1) = 1/2 +α undP(Xⁱ=−1) = 1/2−α,α∈(0,1/2). Weiters seiAⁿ die vonX1, . . . , Xⁿ erzeugteσ-Algebra und

Sⁿ:=X1+. . .+Xⁿ. Man zeige f¨urk∈ {1, . . . , n}:

E[Sⁿ | A^k] =S^k+ 2α(n−k).

3.Aufgabe: F¨ur eine ZufallsvariableX∈ L²(Ω,A, P) und eineσ-AlgebraA0⊆ Adefinieren wir die bedingte Varianz vonX bez¨uglichA0als

var (X | A0) :=Eh

(X−E[X | A0])² A0

i.

(i) Man zeige:

var (X | A0) =E X²| A0

−(E[X | A0])² und

var(X) =E[var (X | A0)] + var (E[X | A0]).

(ii) Es sei (Xⁿ) eine Folge unabh¨angiger Zufallsvariablen auf (Ω,A, P) mit demselben Erwartungswertm und derselben Varianzσ². T sei eine vonX1, X2, . . .unabh¨angige Zufallsvariable mit Werten in Nund endlichem Erwartungswert. Weiters definieren wirS^T :=X1+X2+. . .+X^T (undS0= 0); man zeige

E[S^T] =m·E[T] und var(S^T) =σ²·E[T] +m²·var(T).

4.Aufgabe: Es sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum undX ∈L¹(Ω,A, P). Dieσ-AlgebrenBundC seien Teil-σ-Algebren vonA(alsoB,C ⊆ A).

(i) Man zeige, dass f¨urB ⊆ C

E[X | B] =E[E[X | B]|C] =E[E[X | C]|B] gilt.

(ii) Man zeige an Hand eines Gegenbeispiels, dass im Allgemeinen E[E[X | B]|C]6=E[E[X | C]|B].

Jede Aufgabe 6 Punkte