L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 8¨
Martingalkonvergenzsatz
Aufgabe 8.1 (Wald’sche Identit¨at f¨ur Stoppzeiten). (4 Punkte) Seien X1, X2, . . . unabh¨angig, identisch verteilte, integrierbare Zufallsvariable und T eine in- tegrierbare Stoppzeit (bezgl. der kanonischen Filtration). Zeige f¨ur Sn:=Pn
k=1Xk: (a) E(ST) = E(X1)E(T)
(b) Ist X1 quadratintegrierbar mitE(X1) = 0, so gilt Var(ST) = Var(X1)E(T).
Hinweis: Zeige und verwende, dass Sn2−nVar(X1) ein Martingal ist.
Aufgabe 8.2. (4 Punkte)
Sei (Fn)n∈N eine Filtration auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P). Zeige dass es f¨ur A∈ F :=σ S
n∈NFn
eine Folge An∈ Fn mit
nlim→∞P(An△A) = 0
gibt. Dabei ist An△A= (An\A)∪(A\An) die symmetrische Differenz.
Hinweis: Betrachte
Xn ≥ 12 mit Xn := P(A | Fn) und verwende den Martingalkonver- genzsatz.
Aufgabe 8.3. (5 Punkte)
(a) Sei a∈R+ und (Xn)n∈N ein Martingal mitXn+1 ≥Xn−a. Zeige:
B :=
lim sup
n→∞
Xn=∞ ⊆ lim inf
n→∞ Xn=−∞ =: C modulo P, also P(B\C) = 0.
(b) Seien Xn, n ∈ N, unabh¨angig mit P {Xn=−1}
= n+1n und P {Xn=n}
= n+11 . Zeige, dass f¨ur Sn:=Pn
k=1Xk gilt:
P {lim sup
n→∞
Sn=∞ }
= P {lim inf
n→∞ Sn=−∞ }
= 1.
Hinweis: Verwende (a) und Borel-Cantelli.
Aufgabe 8.4 (Gegenbeispiel). (3 Punkte)
Finde ein Martingal (Mn)n∈N mitMn
n→∞−→ ∞ f.s.
Abgabe bis Di, 18.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 11.12.gibt Anton Klimovsky (Universiteit Leiden) einen Vortrag ¨uber Complex Random Energy Model: Zeros and Fluctuations Am 18.12.gibt Olivier H´enard (Goethe Universit¨at Frankfurt) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.00 – 17.00. Raum: WSC-N-U-4.04
