L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 5¨
Martingale & Stoppzeiten
Aufgabe 5.1 (Doob-Zerlegung). (4 Punkte)
(a) Seien Xn, n ∈ N, unabh¨angige, identisch verteilte, integrierbare Zufallsvariablen. Be- stimme die Doob-Zerlegung von (Xn)n∈N (bzgl. der kanonischen Filtration).
(b) Seien Xn,n∈N, unabh¨angige, normalverteilte Zufallsvariablen.Xnhabe Mittelwert 1 und Varianzn. SeiYn:=Qn
k=1Xk. Berechne die Doob-Zerlegung von (Yn)n∈Nbzgl. der von (Xn)n∈N erzeugten Filtration.
Aufgabe 5.2 (Diskretes stochastisches Integral). (5 Punkte) Sei (Xn)n∈NeinF-Martingal, und (Yn)n∈Nein beschr¨ankter,F-adaptierter Prozess. Definiere Zn:=Pn−1
k=1Yk(Xk+1−Xk).
(a) Zeige, dass (Zn)n∈N einF-Martingal ist.
(b) Sei nun E (Xn+1−Xn)2 Fn
= 1 f.s. BerechneE(Zn) undE(Zn2).
Aufgabe 5.3. (3 Punkte)
Sei F = (Fn)n∈N eine Filtration auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) und τ eine F-Stoppzeit. Definiere f¨urn∈N:τn:=τ ∧n,Gn:=Fτn undG := (Gn)n∈N.
(a) Zeige, dassG eine Filtration ist.
(b) Zeige, dass τ auch eineG-Stoppzeit ist.
Aufgabe 5.4 (Ankunftszeiten als Stoppzeiten). (4 Punkte) (a) Sei (Xt)t≥0R-wertiger stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden, alsot7→Xt(ω) stetig
f¨ur alleω ∈Ω. SeiA⊆R abgeschlossen mit Ankunftszeit τA(ω) = inf
t∈R+
Xt(ω)∈A . Zeige, dass τA eine Stoppzeit (bzgl. der kanonischen Filtration) ist.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn die Pfade nur rechtsstetig sind und die Limiten von links existieren (c`adl`ag-Pfade).
(b) Finde einen reellwertigen Prozess (Xt)t≥0 und eine messbare Menge A⊆R, so dass τA
keine Stoppzeit ist.
Abgabe bis Di, 27.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 20.11.gibt Jan Wirfs (Universit¨at Ulm) einen Vortrag ¨uber seine Diplomarbeit Estimating the Ornstein-Uhlenbeck Stochastic Volatility Model
using Characteristic Functions
Abstract: Continuous-time stochastic volatility models are becoming more and more important in finance because of their adaptability to the most common effects in financial time series. In the talk, we discuss a stochastic volatility model where the volatility process is given by an Ornstein-Uhlenbeck process. Although the model seems to be feasible, the estimation is difficult, because of the inability to compute closed-form likelihood functions. Therefore, we discuss an estimation approach based on characteristic functions. Finally, we give some results of application.
Am27.11.gibt Martin Hutzenthaler (Goethe Universit¨at Frankfurt) einen Vortrag ¨uber Branching diffusions and genealogies in random environment
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.00 – 17.00. Raum: WSC-N-U-4.04
