L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 4¨
Bedingte Dichten
Aufgabe 4.1 (bedingte Dichten). (5 Punkte)
(a) SeienX, Y Zufallsvariablen mit Werten in [0,1], deren gemeinsame Verteilung die Dichte f(x, y) =x+ybesitzt. Bestimme die bedingte Dichte von X gegebenY undE(X |Y).
(b) Seien X, Y unabh¨angig exponentialverteilt mit Parameter 1, also P(X > x) =e−x. Sei Z =X+Y. Berechne die bedingte Dichte vonX gegebenZ und E(X|Z).
Aufgabe 4.2 (bedingte Erwartungen). (5 Punkte)
Seien X, Y unabh¨angig und gleichverteilt auf [0,1].
(a) Berechne E(X|Z) f¨ur Z=XY. (b) Berechne E(X|Z) f¨ur Z=X2+Y.
Aufgabe 4.3 (Borel’sches Paradoxon). (6 Punkte)
Ein zuf¨alliger Punkt auf der Erdoberfl¨ache werde durch eine Zufallsvariable X modelliert, deren Verteilung das normierte Fl¨achenmaß der Einheitssph¨are S2 =
x ∈R3
kxk2 = 1 ist. Sei S ein Großkreis von S2. Wir interessieren uns f¨ur die ,,bedingte Verteilung von X, gegeben dassXinS liegt”. F¨urx∈S2seiϕ(x)∈[−π, π[ der L¨angengrad undψ(x)∈[−π2,π2] der Breitengrad vonx. Sei Φ =ϕ(X), Ψ =ψ(X).
(a) Zeige, dass die gemeinsame Dichte von Φ und Ψ durch f(x, y) = cos(y)
4π f¨ur x∈[−π, π] und y∈[−π2,π2] gegeben ist.
(b) Berechne die bedingte Diche fΦ|Ψ=y. Was f¨ur eine Verteilung w¨urde man also erwarten, wenn S der ¨Aquator ist?
(c) Berechne fΨ|Φ=x. Was f¨ur eine Verteilung w¨urde man also erwarten, wennS durch die Pole (und Greenwich) geht?
Abgabe bis Di, 20.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am13.11.gibt Mikhail Urusov (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber On the martingale property of exponential local martingales.
Abstract: The stochastic exponentialZ of a continuous local martingaleM is itself a continuous local martingale. We give a necessary and sufficient condition for the processZ to be a true martingale and for the process Z to be a uniformly integrable martingale in the case where Mt =Rt
0b(Yu)dWu, the process Y is a one-dimensional diffusion, and the processW is a Brownian motion. These conditions are deterministic and expressed only in terms of the functionband the drift and diffusion coefficients of Y. This is a joint work with Aleksandar Mijatovi´c.
Am 20.11.gibt Alexa Manger (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Modeling evolving phylogenies in the context of phylodynamic patterns.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.00 – 17.00. Raum: WSC-N-U-4.04
