L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 9 ¨
Normalverteilung
Aufgabe 9.1 (Dichte der Normalverteilung). (4 Punkte) Seienn, d∈N,X n-dimensional standard normalverteilt,A∈Rd×nmit rang(A) =d, undb∈Rd. SetzeY :=AX+b und berechne die Lebesgue-Dichte vonY.
Hinweis:Betrachte zun¨achst den Falld=n.
Aufgabe 9.2 (Bedingte Marginale sind normalverteilt). (4 Punkte) SeiX= (X1, X2) eine zentrierte, 2-dimensional normalverteilte Zufallsvariable mit Kovarianzma- trixV = (Vij)i,j=1,2. Die bedingte Verteilung vonX2gegebenX1wird mitL(X2|X1) bezeichnet, und die 1-dimensionale Normalverteilung (Mittelm, Varianzs2) mitN(m, s2). Zeige:
L(X2|X1) = N
V12
V11X1, V22−VV122
11
f.s.
Aufgabe 9.3 (Gegenbeispiel). (3 Punkte)
Finde (1-dimensional) standartnormalverteilte Zufallsvariablen Y, Z, die unkorreliert, aber nicht unabh¨angig sind. Insbesondere hat dann X := (Y, Z) normalverteilte Marginale, ist aber selbst nicht (2-dimensional) normalverteilt.
Aufgabe 9.4 (Weihnachtsaufgabe). (5 Punkte)
In einer in beide Richtungen unendlich langen Straße befinden sich (abz¨ahlbar) unendlich viele H¨auser, mit Hausnummernmenge Z. In jedem wartet ein Kind auf Geschenke vom Christkind.
Leider ist letzteres sehr vergesslich und vergisst st¨andig, in welcher Reihenfolge es vorgehen wollte.
Also wendet es sich in jedem Zeitschritt zuf¨allig und unabh¨angig mit Wahrscheinlichkeit pnach rechts und mit Wahrscheinlichkeit 1−pnach links, geht ein Haus weiter und beschenkt das dortige Kind (dabei beeilt es sich, um in endlicher Zeit unendlich viele Beschenkungen durchf¨uhren zu k¨onnen). Das Christkind ist anf¨anglich bei dem Haus, in dem die kleine Alexa wohnt. Zu deren Entt¨auschung beginnt es aber erst beim n¨achsten Haus mit dem Schenken. Zeige, dass die folgenden Bedingungen ¨aquivalent sind:
(a) Alexa bekommt f.s. doch noch ein Geschenk.
(b) Alexa bekommt f.s. unendlich viele Geschenke.
(c) F.s. werden alle Kinder beschenkt.
(d) F¨ur die Greens Funktion G(x) = X
n∈N
P {Christkind beschenkt im n-ten Schrittx} gilt:
G Alexa
= ∞.
(e) p = 12.
!!! Frohe Weihnachten !!!
Abgabe bis Di, 08.01. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am18.12.gibt Olivier H´enard (Goethe Universit¨at Frankfurt) einen Vortrag ¨uber Examples of intertwining relationships
Abstract: When is a function of a Markov process Markov again? We will discuss the answer given by Rogers and Pitman (1981, AoP) and exemplify it by revisiting classical path decompositions as well as giving new ones within the framework of stochastic population models.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.00 – 17.00. Raum: WSC-N-U-4.04
