L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 6 ¨
Optional Sampling Theorem
Seien X
k, k ∈
N, unabh¨angige, auf{ −1, 1 } gleichverteilte Zufallsvariablen und S
n:=
Pnk=1
X
k. F¨ ur a, b ∈
Ndefiniere
T := T
ab:= inf { n ∈
N| S
n= a oder S
n= −b }.
und
T
a:= inf{ n ∈
N| S
n= a }.
Aufgabe 6.1.
(6 Punkte)(a) Zeige: T is eine f.s. endliche Stoppzeit.
(b) Zeige:
P{ S
T= a }
= b
a + b .
Aufgabe 6.2.
(4 Punkte)Berechne
E(T ).
Hinweis:
Benutze die Doob-Zerlegung von (S
n2)
n∈NAufgabe 6.3.
(3 Punkte)Zeige, dass T
aeine f.s. endliche Stoppzeit ist und berechne
E(T
a).
Aufgabe 6.4 (Gegenbeispiel).
(3 Punkte)Finde ein Martingal (M
n)
n∈Nund eine Folge von Stoppzeiten T
1≤ T
2≤ · · · , so dass
P{ T
n< ∞ }
= 1 f¨ ur alle n und
E
(M
Tn)
n→∞−→ ∞.
Insbesondere ist M
Tn
n∈N
dann kein Martingal.
Abgabe bis Di, 04.12. am Anfang der ¨ Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨ age:
Am 27.11. gibt Martin Hutzenthaler (Goethe Universit¨at Frankfurt) einen Vortrag ¨ uber Branching diffusions and genealogies in random environment
Abstract: Individuals in a branching process in random environment (BPRE) branch independently of each other and the offspring distribution changes randomly over time. The variation in the offspring
distribution models fluctuations in environmental conditions. The diffusion approximation of BPREs, which we denote as branching diffusion in random environment (BDRE), turns out to have strong analytical properties. We will explain important analogies with and differences to Feller’s branching diffusion. In addition we focus on genealogies in random environment. The relative frequency of one BDRE within the sum of two BDREs in the same random environment turns out to be a Wright-Fisher diffusion with random selection. The genealogy of this well-known diffusion is unknown so far and we will present first ideas.
