L¨ohr/Winter Wintersemester 2011/12
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 5¨
Stochastische Prozesse & Martingale
Aufgabe 5.1 (Markovkette). (5 Punkte)
Sei A= (Aij)i,j∈N∈RN×Neine stochastische Matrix, d.h. die Eintr¨age sind positiv und alle Zeilensummen sind 1. Sei v ∈ RN ein stochastischer Vektor, d.h. v ist ein Zeilenvektor mit positiven Eintr¨agen und die Summe der Eintr¨age ergibt 1.
(a) Zeige: Es gibt einen stochastischen Prozess X = (Xn)n∈N mit Werten inN und kanoni- scher FiltrationF = (Fn)n∈N, so dass
1. P {X1 =i}
= vi 2. P {Xn+1=j} Fn
= P {Xn+1 =j}
Xn
= AXnj f.s.
Ferner ist die Verteilung vonX eindeutig bestimmt.
(b) Sein∈N. Was sagt vAn uber den in (a) definierten Prozess¨ X?
Aufgabe 5.2 (Schon fast eine Brownsche Bewegung). (6 Punkte) Zeige, dass es einen R-wertigen stochastischen Prozess (Xt)t≥0 gibt, so dass
1. X0 = 0 f.s. 2. Xti−Xti−1
i=1,...,n unabh¨angig f¨ur 0 =t0<· · ·< tn,n∈N. 3. PXt−Xs = N0,t−s ∀0≤s≤t.
Hierbei ist N0,u die zentrierte Normalverteilung mit Varianzu.
Hinweis:Verwende: Die Summe zweier unabh¨angiger, normalverteilter ZV ist normalverteilt.
Aufgabe 5.3 (Martingale). (5 Punkte)
(a) Sei F = (Ft)t≥0 eine Filtration und Y eine integrierbare Zufallsvariable. Setze Xt = E(Y | Ft). Zeige, dass (Xt)t≥0 ein F-Martingal ist.
(b) SeiXnintegrierbar und (Xn)n∈Nein deterministischer stochastischer Prozess, das heisst es gibt messbare Funktionen fn:R→ R mitXn+1 =fn(Xn) f.s. Gib eine notwendige und hinreichende Bedingungen an die fn an, unter denen (Xn)n∈N ein Martingal ist.
(c) Sei der stochastische Prozess (Xn)n∈N station¨ar, d.h. (Xn+k)n∈N hat f¨ur alle k ∈ N dieselbe Verteilung hat wie (Xn)n∈N. Ferner seiX1quadratintegrierbar. Zeige: (Xn)n∈N
ist genau dann ein Martingal, wenn es f.s. konstant ist, alsoX1=Xnf.s. f¨ur allen∈N. Hinweis:Ist (Xn)station¨ar, so ist E(Xn2)unabh¨angig von n. Betrachte E(Xn2)−E(X12).
Abgabe bis Di, 22.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 15.11. (heute) gibt Olivier H´enard (CERMICS - ´Ecole des ponts) einen Vortrag ¨uber Generalized Fleming Viot process conditioned on non extinction of some types.
Abstract: Using the lookdown construction of Donnelly and Kurtz, we condition a Generalized Fleming Viot process without mutation on non extinction of some types.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: T03 R04 D10
