L¨ohr/Winter Wintersemester 2011/12
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 4¨
Kerne & Bedingte Dichten
Aufgabe 4.1 (Kerne). (4 Punkte)
Seien (Ωi,Ai), i = 1,2, messbare R¨aume und E ein schnittstabiler Erzeuger von A2. F¨ur K: Ω1× A2 →[0,1] gelte:
1. K(ω, ·) ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω2,A2)∀ω∈Ω1, 2. K(·, E) ist A1-messbar∀E ∈ E.
Zeige, dassK ein stochastischer Kern ist.
Aufgabe 4.2 (bedingte Dichten). (6 Punkte)
(a) SeienX, Y Zufallsvariablen mit Werten in [0,1], deren gemeinsame Verteilung die Dichte f(x, y) =x+ybesitzt. Bestimme die bedingte Dichte von X gegebenY undE(X |Y).
(b) Seien X, Y unabh¨angig exponentialverteilt mit Parameter 1, also P(X > x) =e−x. Sei Z =X+Y. Berechne die bedingte Dichte vonX gegebenZ und E(X|Z).
Aufgabe 4.3 (Borel’sches Paradoxon). (6 Punkte)
Ein zuf¨alliger Punkt auf der Erdoberfl¨ache werde durch eine Zufallsvariable X modelliert, deren Verteilung das normierte Fl¨achenmaß der Einheitssph¨areS2 =
x ∈R3
kxk2 = 1 ist. Sei S ein Großkreis von S2. Wir interessieren uns f¨ur die ,,bedingte Verteilung von X, gegeben dassXinS liegt”. F¨urx∈S2seiϕ(x)∈[−π, π[ der L¨angengrad undψ(x)∈[−π2,π2] der Breitengrad vonx. Sei Φ =ϕ(X), Ψ =ψ(X).
(a) Nim an, dassSder ¨Aquator ist und berechne die Bedingte DichtefΦ|Ψ=0von Φ gegeben Ψ = 0.
(b) Nim an, dass S durch die Pole (und Greenwich) geht und berechne die Bedingte Dichte fΨ|Φ=0 von Ψ gegeben Φ = 0.
Abgabe bis Di, 15.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 15.11.gibt Olivier H´enard (CERMICS - ´Ecole des ponts) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: T03 R04 D10
