Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II

L¨ohr/Winter Wintersemester 2015/16

Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II

Ubungsblatt 10¨

Gaußprozesse

Aufgabe 10.1 (Markovkette). (4 Punkte)

SeiP = (p_ij)_i,j∈N∈R^N×Neine stochastische Matrix, d.h. die Eintr¨age sind nicht-negativ und alle Zeilensummen sind 1. Sei µ∈ R^N ein stochastischer Vektor, d.h. µ ist ein Zeilenvektor mit nicht-negativen Eintr¨agen und die Summe der Eintr¨age ergibt 1.

(a) Zeige: Es gibt einen stochastischen Prozess X = (X)n∈N₀ mit Werten in Nund kano- nischer Filtration F = (Fn)_n∈N, so dass

1. P(X0=i) = µi 2. P(Xn+1=j| Fn) = P(Xn+1 =j|Xn) = p_Xnj f.s.

(b) Sei n∈N. Was sagtµPⁿ ¨uber den in (a) definierten Prozess X?

Aufgabe 10.2 (Schon fast eine Brownsche Bewegung). (4 Punkte) Zeige, dass es einen R-wertigen stochastischen Prozess (B_t)_t≥0 gibt, so dass

1. B0= 0 f.s. 2. B_ti−B_ti−1

i=1,...,n unabh¨angig f¨ur 0 =t0<· · ·< t_n,n∈N. 3. PB^t−B^s = N0,t−s ∀0≤s≤t.

Aufgabe 10.3 (Bedingte Marginale der Normalverteilung). (4 Punkte) Sei X = (X1, X2) eine zentrierte, 2-dimensional normalverteilte Zufallsvariable mit Kovari- anzmatrix V = (V_ij)_i,j=1,2 undV116= 0. Die bedingte Verteilung vonX2 gegebenX1 wird mit L(X2|X1) bezeichnet, und die 1-dimensionale Normalverteilung mitN. Zeige:

L(X2|X1) = N

V12

V11X1, V22− ^V_V¹²₁₁² f.s.

Bitte wenden!

Ein stochastischer ProzessX= (Xt)t≥0 besitzt die Markoveigenschaft, falls L(Xt| Fs) = L(Xt|X_s) ∀0≤s≤t,

wobei (Fs)_s≥0 die kanonische Filtration ist. Anschaulich sagt also der ,,aktuelle Zustand”X_s schon genauso viel ¨uber die Zukunft von X aus, wie die ,,gesammte Vergangenheit” Fs.

Aufgabe 10.4. (4 Punkte)

(a) Sei X = (X_t)_t≥0 ein zentrierter Gaußprozess mit Kovarianzfunktion (Γ_st)_s,t≥0. Zeige:

Falls X die Markoveigenschaft besitzt, gilt

ΓstΓtu = ΓsuΓtt ∀s < t < u. (1) Hinweis: Verwende Aufgabe 10.3.

Bemerkung: (1) ist (f¨ur Gaußprozesse) sogar ¨aquivalent zur Markoveigenschaft.

(b) Sei 0 < α < 2 und X = (X_t)_t≥0 ein zentrierter Gaußprozess mit Kovarianzfunktion Γ_st= ¹₂ s^α+t^α− |s−t|^α

, die sogennanntefraktionale Brownsche Bewegung zum Parameter α. Zeige, dass X im Fall α6= 1 die Markoveigenschaftnicht besitzt.

(c) Sei (Bt)t≥0 der Prozess aus Aufgabe 10.2 und Xt:=Bt−tB1 die so genannte Brown- sche Br¨ucke. Zeige, dass Xs und Xu f¨ur s <1< uunabh¨angig sind.

Abgabe Mi, 20.01. am Anfang der ¨Ubungsstunde

Arbeitsgruppenvortr¨age:

Am 12.01.gibt Peter Tankov (Universit´e Paris-Diderot – Paris 7) einen Vortrag ¨uber Asymptotic lower bounds for optimal tracking: a linear programming approach Am 19.01.gibt Giorgio Ferrari (University of Bielefeld) einen Vortrag ¨uber

Nash equilibria of threshold type for two-player nonzero-sum games of stopping Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03