L¨ohr/Winter Wintersemester 2010/11
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨
Ubungsblatt 2¨
Borel-Cantelli
Aufgabe 2.1. Eine M¨unze mit Werten in {K, Z} und Wahrscheinlichkeit 23 f¨ur K werde unendlich oft unabh¨angig geworfen. SeiXn das Resultat des n-ten Wurfs und
An = {Xn+1 =Xn+2 =· · ·=X2n=K}, n∈N,
das Ereignis, dass nach dem n-ten Wurfn-mal in FolgeK kommt. Bestimme die Wahrschein- lichkeit
P \
N∈N
[
n≥N
An ,
dass dies f¨ur unendlich viele npassiert.
Aufgabe 2.2 (Anwendung von Borel-Cantelli auf Konvergenz von ZV). Seien X sowie Xn,n∈N, reellwertige Zufallsvariablen. Zeige
(a) F¨ur alleε >0 gelteP
n∈NP |Xn−X|> ε
<∞. Dann konvergiert (Xn)n∈Nfast sicher gegen X.
(b) Konvergiert (Xn)n∈Nstochastisch gegenX, so existiert eine Teilfolge (Xnk)k∈N, die fast sicher gegen X konvergiert.
(c) Gilt P
n∈NkXn−Xk1 < ∞, so konvergiert (Xn) fast sicher gegen X. Hierbei ist wie gew¨ohnlich k · k1 die L1-Norm, also kXn−Xk1=E |Xn−X|
. Hinweis: Verwende (a).
Aufgabe 2.3 (Anwendung der ,,Umkehrung” in Borel-Cantelli).
(a) SeiBp die Bernoulli-Verteilung auf{0,1}mit Parameterp∈[0,1] (alsoBp({1}) =p).
Sei (Xn)n∈N eine Folge unabh¨angiger Zufallsvariablen, wobei die Verteilung von Xn durchB1
n gegeben sei. Konvergiert die Folge fast sicher?
(b) Sei (Xn)n∈Neine Folge unabh¨angig und identisch verteilter reellwertiger Zufallsvariablen mitE |Xn|
=∞. Zeige, dass dann
P |Xn| ≥nf¨ur unendlich viele n
= 1.
Abgabe: Di, 02.11. in der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am26.10. (heute)gibt Anton Klimovsky vom Hausdorff-Zentrum Bonn einen Vortrag ¨uber
Universal macroscopic behaviour of evolving genealogies of spatial Lambda-Flemming-Viot processes
Abstract:We consider a class of stochastic processes – the so-called spatial Lambda-Flemming- Viot processes – that describe the evolution of the genealogies in the spatially extended populations with migration and occasionally large (i.e., comparable to the population size) reproduction events. What reproduction mechanisms can be observed in these processes on the macroscopic level? We argue that, in the regime when the migration mechanism mixes the spatially extended population well, the macroscopic reproduction behaviour is rather universal and is described by the Kingman coalescent. Joint work in progress with A. Greven and A. Winter.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: 16.00 – 17.00. Raum: S05 T03 B72
