L¨ohr/Winter Wintersemester 2012/13
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 7¨
Gleichgradige Integrierbarkeit
Aufgabe 7.1 (Beispiele gleichgradig integrierbarer Familien). (5 Punkte) (a) Sei (Xn)n∈N ein integrierbarer, station¨arer Prozess (d.h. dieXn sind identisch verteilt,
aber nicht notwendig unabh¨angig). Zeige, dass (Xn)n∈N gleichgradig integrierbar ist.
(b) F¨ur eine Familie (Xt)t∈I integrierbarer Zufallsvariablen gelte supt∈I E(Xt)
< ∞ und supt∈IVar(Xt)<∞. Zeige, dass die Familie gleichgradig integrierbar ist.
(c) Sei Y integrierbar undXn := E(Y | Fn) f¨ur eine Filtration F = (Fn)n∈N. Zeige, dass (Xn)n∈N ein gleichgradig integrierbares Martingal ist.
Bemerkung: Insbesondere ist ein Prozess (Xn)n∈N genau dann ein gleichgradig in- tegrierbares Martingal, wenn es eine Filtration F und ein integrierbares Y gibt mit Xn=E(Y | Fn).
Aufgabe 7.2 (Gegenbeispiele). (3 Punkte)
(a) Seien Xk,k∈N, unabh¨angig und gleichverteilt auf{−1,1}.
Zeige, dass (Sn)n∈NmitSn=Pn
k=1Xk nicht gleichgradig integrierbar ist.
(b) Zeige, dass nicht jede gleichgradig integrierbare Folge (Xn)n∈Nvon Zufallsvariable eine integrierbare Majorante (also eine integrierbare ZufallsvariableY mit|Xn| ≤Y ∀n∈N) besitzt.
Aufgabe 7.3 (Lp-beschr¨ankt vs. gleichgradig integrierbar). (4 Punkte) (a) Finde ein L1-beschr¨anktes Martingal (Xn)n∈N, das nicht gleichgradig integrierbar ist.
(b) Sei p > 1. Finde einen Lp-beschr¨ankten Prozess (Xn)n∈N, so dass |Xnp|
n∈N nicht gleichgradig integrierbar ist. L¨asst sich (Xn)n∈N als Martingal w¨ahlen?
Aufgabe 7.4. (4 Punkte)
SeiX = (Xn)n∈Nein Martingal,Xn≥0 f¨ur allen∈N. Zeige: Xist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn
nlim→∞E(Xn) = E(lim inf
n→∞ Xn).
Abgabe bis Di, 11.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 04.12.gibt Alexa Manger (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Modeling evolving phylogenies in the context of phylodynamic patterns Am11.12.gibt Anton Klimovsky (Universiteit Leiden) einen Vortrag ¨uber
Complex Random Energy Model: Zeros and Fluctuations
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.00 – 17.00. Raum: WSC-N-U-4.04
