L¨ohr/Winter Sommersemester 2014
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 2¨
Borelsche σ-Algebra
Aufgabe 2.1 (Borelsche σ-Algebra auf Rn). (4 Punkte) Zeige: die Borelscheσ-Algebra aufRn wird von jedem der folgenden Mengensysteme erzeugt:
(a)
A⊂Rn
Aabgeschlossen . (b)
A⊂Rn
Akompakt . (c)
Br(x)
r ∈ Q+, x ∈ Qn . Dabei ist Br(x) =
y ∈ Rn
|x−y| < r die (offene) Kugel um x∈Rn mit Radius r≥0.
Aufgabe 2.2 ((gegen-)Beispiele). (4 Punkte)
Sei X eine Menge. Beweise die folgenden Aussagen, oder finde ein Gegenbeispiel.
(a) Jede Topologie auf X ist auch eine σ-Algebra aufX.
(b) Ist τ eine Topologie aufX, so bildet das System all derjenigen Teilmengen von X, die offenen oder abgeschlossenen sind, eine σ-Algebra aufX.
(c) Ist U eine abz¨ahlbare Basis der Topologieτ, so ist die von U erzeugte σ-Algebra gleich der Borel σ-Algebra.
Aufgabe 2.3. (4 Punkte)
Zeige, dass die folgenden Teilmengen von RBorel-messbar sind.
(a)
x∈R
0< f(x)≤f(x)2 , wobei f:R→Reine (gegebene) stetige Funktion ist.
(b) Die Menge der algebraischen Zahlen. Dabei heißt eine Zahl x∈R algebraisch, falls sie Nullstelle eines nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
Aufgabe 2.4 (Messbarkeit von Stetigkeitsstellen). (4 Punkte) Seien (X, d), (Y, r) metrische R¨aume, f: X → Y eine beliebige Funktion. Zeige, dass die Menge der Stetigkeitsstellen von f Borel-messbar ist.
Hinweis: Betrachte Mengen des folgenden Typs:
Aε,δ :=
x∈X
∃u, v∈Bδ(x) :r f(u), f(v)
≥ε ,
zeige, dass sie messbar sind, und dr¨ucke die Menge Uf der Unstetigkeitsstellen von f mit ihrer Hilfe aus.
Bitte wenden!
Abgabe bis Di, 29.04. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 22.04.gibt Sandra Kliem (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Modeling evolving phylogenies by means of marked metric measure spaces
Abstract: In this talk, a model for evolving phylogenies, incorporating branching, mutation and com- petition is introduced. The state-space consists of marked tree-like metric measure (mmm)-spaces.
The model arises as the limit of approximating finite population models with rates dependent on the individuals’ traits and their genealogical distances.
The main focus of the talk will be on presenting the notion of mmm-spaces and to highlight their advantages in the given context. In particular, necessary and sufficient conditions for relative com- pactness of sets in mmm-spaces are explained. The route to verify these conditions to conclude the tightness of the approximating models from above is given.
A similar approximating model and its limit is treated in [M´el´eard and Tran, 2012] in the framework of nonlinear historical superprocess approximations. In the framework of mmm-spaces, work of [Depper- schmidt, Greven, Pfaffelhuber and Winter, 2012–2013] introduces and studies tree-valued Fleming-Viot dynamics. During this talk, new ideas and challenges that arise from working with mmm-spaces in the context of evolving phylogenies are put into context of the above. (This is joint work with Anita Winter.)
Am29.04.gibt Paolo Di Tella (Humboldt-Universit¨at Berlin) einen Vortrag ¨uber The Chaotic Representation Property of Certain Families of Martingales Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.01
