L¨ohr/Winter Sommersemester 2014
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 1 mit L¨ ¨ osungen
Mengensysteme
Sei Ω immer eine nicht-leere Menge.
Aufgabe 1.1 (Algebren mit Schnitt statt Vereinigung). (4 Punkte) Beweise Satz 1.8 aus der Vorlesung, also dassA ⊆2Ωgenau dann eine Algebra ist, wenn folgende 3 Eigenschaften erf¨ullt sind:
i. Ω∈ A ii. Aist komplement-stabil iii. Aist∩-stabil
L¨osung: Sei A, B ∈ A. Ist A eine Algebra, so sind i) und ii) per Definition erf¨ullt, und es gilt A∩B=∁ ∁(A∩B)
=∁(∁A∪∁B)∈ A. Gelten umgekehrt i) – iii), so ist auchA∪B=∁(∁A∩∁B)∈ Aund somitAeine Algebra.
Aufgabe 1.2 (Von Partitionen erzeugte Mengensysteme). (4 Punkte) Sei I eine Menge und π = (πi)i∈I eine Partition von Ω, das heißt πi ∩πj = ∅ f¨ur i 6= j, und S
i∈Iπi= Ω.
(a) Zeige, dass f¨ur die von πerzeugteσ-Algebra gilt:
σ(π) = n [
i∈J
πi
J ⊆I mitJ abz¨ahlbar oderI\J abz¨ahlbaro
. (1)
(b) Bestimme das vonπerzeugte Dynkin-System.
(c) Bestimme die von πerzeugte Topologie.
L¨osung: (a) Sei Adie rechte Seite von (1) undA∈ A, alsoA=S
i∈Jπi. IstJ abz¨ahlbar, so ist wegen der σ-vereinigunsstabilit¨at A ∈σ(π). Ist I\J abz¨ahlbar, so ist ∁A = Ω\S
j∈Jπj = S
i∈Iπi\S
j∈Jπj=S
i∈I\Jπi\ S
j∈J(πi∩πj)
=S
i∈I\Jπi∈σ(π) und somit auchA ∈σ(π).
Also gilt A ⊆σ(π).
Umgekehrt zeigen wir, dass Aeineσ-Algebra ist. Ω∈ Aund Komplement-stabilit¨at ist klar nach Definition. Sei A =S
n∈NAn mit An =S
j∈Jnπj ∈ A. Setze J := S
n∈NJn. Dann ist A=S
j∈Jπj undJ ist abz¨ahlbar, falls alle Jn abz¨ahlbar sind. Ist (mindestens) einJn nicht ab¨ahlbar, so istI\Jn abz¨ahlbar und somit auchI\J. Daher istA∈ AundAeineσ-Algebra.
Wegenπ⊆ Agilt somit auchσ(π)⊆ A.
(b) π∩ { ∅ }ist∩-stabil, also stimmen erzeugtes Dynkin-System und erzeugteσ-Algebra ¨uberein.
(c) Die erzeugte Topololgie istτ(π) = S
j∈Jπj
J ⊆I =:E. ,,⊇” gilt wegen der Vereinigungs- stabilit¨at von Topologien bez¨uglich beliebiger Vereinigungen. ,,⊆” gilt, da E eine Topologie ist: offensichtlich sind ∅,Ω ∈ E, f¨ur Al = S
j∈Jlπj ∈ E gilt S
l∈LAl = S
j∈S
l∈LJl ∈ E und A1∩A2=S
j∈J1πj∩S
j∈J2πj=S
j∈J1∩J2πj∈ E.
Bitte wenden!
Aufgabe 1.3 (Beispiele). (4 Punkte) (a) Gib zweiσ-Algebren auf derselben Menge Ω an, deren Vereinigung keineσ-Algebra ist.
(b) Sei A :={A ⊆ N | Aendlich oder∁Aendlich}. Zeige, daßA eine Algebra, jedoch keine σ-Algebra aufN ist.
(c) Finde ein Dynkin-System, das keineσ-Algebra ist.
L¨osung: (a) Ω = {1,2,3}, A1 =σ {1}
, A2 =σ {2}
. Dann {2,3} ∈ A1, {1,3} ∈ A2, aber {2,3} ∩ {1,3}={3}∈ A/ 1∪ A2.
(b) ∅ ∈ A: klar. A∈ A ⇒ ∁A∈ A: klar. SeiA, B∈ A. FallsA, B endlich, so auch A∪B, also A∪B∈ A. Ist∁Aoder∁B endlich, so auch∁(A∪B), alsoA∪B∈ A. SeiAn ={2n}. Dann istAn ∈ A, aberS
n∈NAn∈ A. Also ist/ AAlgebra aber keineσ-Algebra.
(c) SeiA, B⊆Ω mit A∩B, A∩∁B, ∁A∩B,∁A∩∁B 6=∅. Dann istD:=
∅,Ω, A, B,∁A,∁B ein Dynkin-System, aberA∩B /∈ D, also istDkeineσ-Algebra.
Aufgabe 1.4 (Folgen von Mengen). (4 Punkte)
Es sei (An)n∈N eine Folge von MengenAn⊆Ω. Das Komplement einer MengeB sei∁B:= Ω\B.
Deruntere bzw. obere Mengenlimes der Folge (An)n∈N ist definiert als die Menge A∗ := lim inf
n→∞ An := [
m
\
n≥m
An bzw. A∗ := lim sup
n→∞
An := \
m
[
n≥m
An.
(a) Beschreibe (verbal), welche Elemente inA∗bzw.A∗ liegen.
(b) Zeige:A∗⊂A∗.
(c) Zeige:∁A∗= lim supn→∞(∁An), und∁A∗= lim infn→∞(∁An).
(d) Zeige, dass f¨urω∈Ω gilt:
1A∗(ω) = lim inf
n→∞ 1An(ω) und 1A∗(ω) = lim sup
n→∞ 1An(ω).
Hierbei bezeichnet
”lim sup“ bzw.
”lim inf“ die aus der Analysis f¨ur Zahlenfolgen bekannten Begriffe und1B dieIndikatorfunktion der Menge B, definiert als:
1B(ω) :=
1, wennω∈B 0, wennω6∈B .
L¨osung: (a) Die ω∈Ω mit ,,ω liegt in schließlich allenAn,” bzw. ,,in unendlich vielenAn.”
(b) Klar mit (d).
(c) ∁A∗=T
m∁ T
n≥mAn
=T S∁An= lim supn→∞(∁An).∁A∗ analog.
(d) lim infn→∞1An(ω) = 1 ⇔ ∃m : 1An(ω) = 1∀n > m ⇔ ∃m : ω ∈ An∀n > m ⇔
∃m:ω∈T
n≥mAn ⇔ ω∈A∗ ⇔ 1A∗(ω) = 1. A∗ analog.
