L¨ohr/Winter Sommersemester 2014
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 5¨
Ma ß e
Aufgabe 5.1 (Verteilungsfunktion). (4 Punkte)
Sei F:R→R+ rechtsseitig stetig, monoton wachsend, und limx→−∞F(x) = 0.
(a) Zeige, dass es genau ein Maß µF auf R,B(R)
gibt mit µF ]−∞, x]
= F(x) ∀x∈R.
(b) Was muss gelten, damit µF ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist?
(c) Sei λ=λR+ das Lebesquemaß eingeschr¨ankt auf R+, und δx das Dirac Maß in x∈R.
Finde Fλ undFδx mitµFλ=λundµFδx =δx.
Aufgabe 5.2 (Maße auf dem Produktraum). (3 Punkte) F¨ur i= 1,2 seien (Ωi,Ai, Pi) Wahrscheinlichkeitsr¨aume undBi ∈ Ai mitPi(Bi) = 12. Ferner sei P :=P1⊗P2 das Produktmaß. Wir definieren
B := (Ω1×B2)△(B1×Ω2) und Q(A) := 2P(A∩B) ∀A∈ A1⊗ A2. Dabei bezeichne △die symmetrische Differenz. Zeige:
(a) Q ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produktraum (Ω1×Ω2,A1× A2).
(b) Die Marginale (=Randverteilungen) von P und Q stimmen ¨uberein, nicht jedoch die Maße selbst.
Aufgabe 5.3 (Approximationssatz). (4 Punkte)
SeiF ein Semiring auf Ω,A:=σ(F), undµ ein Maß aufA, welchesσ-endlich aufF ist. Sei A ∈ A. Zeige: F¨ur jedes ε > 0 gibt es disjunkte Mengen A1, A2, . . . ∈ F mit A ⊆S
n∈NAn und µ S
n∈NAn\A
≤ε.
Hinweis: Benutze, dass das ¨außere Maß µ∗(C) = inf P
n∈Nµ(Fn)
F1, F2, . . . ∈ F, C ⊆ S
n∈NFn auf Amit µ¨ubereinstimmt, und dass sich die Fnin dem Infimum disjunkt w¨ahlen lassen, da F ein Semiring ist.
Bitte wenden!
Aufgabe 5.4 (Hausdorff-Maß & -Dimension). (5 Punkte) Sei (X, d) ein metrischer Raum undα≥0. F¨ur ε >0 undA⊆X sei
Hαε(A) := infn X
n∈N
diam(An)α
A1, A2, . . .⊆X, A⊆ [
n∈N
An,diam(An)< εo ,
wobei diam(A) = sup
d(x, y)
x, y ∈ A der Durchmesser von A ist. Hierbei verwenden wir f¨ur α = 0 die Konvention diam(A)0 = 1 f¨ur A 6= ∅ und diam(∅)0 = 0. Das (¨außere) α-dimensionale Hausdorff-Maß ist definiert als
Hα(A) := sup
ε>0
Hαε(A) ∀A⊆X.
(a) Zeige, dassHα tats¨achlich ein ¨außeres Maß ist.
Bemerkung:Man kann zeigen, dass die MengeM(Hα)derHα-messbaren Mengen die Borelsche σ-Algebra B(X) enth¨alt.
(b) Zeige, dass f¨ur α < β gilt: Hαε(A) ≥ εα−βHβε(A).
(c) Zeige, dass es f¨ur jedesA⊆Xeinen eindeutig bestimmten Wert dimH(A)∈[0,∞] gibt, mit
Hα(A) =
(∞, 0≤α <dimH(A) 0, dimH(A)< α <∞. Hinweis: Verwende (b).
Bemerkung: dimH(A) heißt Hausdorff-Dimension von A. HdimH(A)(A) kann jeden Wert in [0,∞]annehmen.
(d) Sei A := Q∩[0,1] die Menge der rationalen Zahlen in [0,1]. Bestimme dimH(A) und HdimH(A)(A).
Abgabe bis Di, 20.05. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 13.05.gibt Stephan Gufler (Goethe Universit¨at Frankfurt am Main) einen Vortrag ¨uber Lookdown representation for tree-valued Fleming-Viot processes
Abstract: We construct the tree-valued Fleming-Viot process from the Lookdown model. The tree- valued Fleming-Viot process was introduced by Greven, Pfaffelhuber, and Winter [Probab. Theory Related Fields 2013]. We generalize this process to include the cases with multiple and simultaneous multiple reproduction events. In case that the associated coalescent comes down from infinity, the construction from the Lookdown model allows to read off a process with values in the space of measure- preserving isometry classes of compact metric measure spaces, endowed with the Gromov-Hausdorff- Prohorov metric. This process has a.s. c`adl`ag paths with additional jumps at the times when old families become extinct.
Am 20.05.gibt Christof K¨ulske (Ruhr-Universit¨at Bochum) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.01
