L¨ohr/Winter Sommersemester 2014
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 7¨
Bildmaße, Verteilungen & Unabh¨ angigkeit
Aufgabe 7.1. (4 Punkte)
SeiX eine reellwertige Zufallsvariable, deren Verteilung die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = |x|e−x2
besitzt. SetzeY =X2und berechne die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung vonY.
Aufgabe 7.2 (Darstellung als Funktion einer gleichverteilten ZV). (4 Punkte) Seiµein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Rmit Verteilungsfunktion Fµ. Definiere
Gµ: ]0,1[→R, Gµ(x) := inf
t∈R
Fµ(t)≥x . (a) Zeige, dassGµ messbar ist.
(b) Sei λdas Lebesguemaß auf ]0,1[. Berechne das Bildmaß λGµ von λunterGµ.
(c) SeiXeine reellwertige Zufallsvariable undU gleichverteilt auf [0,1]. Finde eine messbare Funktion gX, so dass Y :=gX(U) dieselbe Verteilung hat wieX.
Bemerkung: Wenn man mit einem Zufallsgenerator eine auf [0,1] gleichverteilte ZV erzeugen kann, kann man somit verm¨oge gX auch jede andere reellwertige ZV X er- zeugen (falls man gX berechnen kann).
Aufgabe 7.3 (Transformation von Dichten). (4 Punkte) SeiX ein C1-Diffeomorphismus einer offenen MengeU ⊂Rd auf eine offene MengeV ⊂Rd, d.h.X ist bijektiv undX, X−1 sind stetig differenzierbar. Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf U,B(U)
mit Dichte gbez¨uglich desd-dimensionalen Lebesguemaßesλd. (a) Zeige, dass das BildmaßPX (vonP unterX) bez¨uglich λddie Dichte
|detDX|−1·g
◦X−1
hat. Dabei bezeichnet detDX die Funktionaldeterminante (Determinante der Jacobi- Matrix) vonX.
Hinweis: Der Transformationssatz aus der Analysis darf nat¨urlich verwendet werden:
F¨ur alle integrierbaren Funktionenf:V →R+ gilt Z
V
f(x) dx = Z
U
f ◦X(y)·
detDX(y) dy.
(b) Berechne die Dichte vonPX f¨ur affin-linearesX, also X(x) = Ax+b, x∈Rd, f¨ur eine gegebened×d-MatrixA und gegebenesb∈Rd.
Bitte wenden!
Aufgabe 7.4 (Unabh¨angigkeit von Ereignissen ¨uber Komplemente). (4 Punkte) Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum,I eine Indexmenge,Ai∈ Af¨ur i∈I. Setze Bi1 :=
Ai und Bi0 := Ω\Ai. Zeige, dass die Folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:
1. Die Familie (Ai)i∈I ist unabh¨angig.
2. Es existiert einα= (αi)i∈I ∈ {0,1}I, so dass die Familie (Biαi)i∈I unabh¨angig ist.
3. F¨ur alle α∈ {0,1}I ist die Familie (Bαii)i∈I unabh¨angig.
Abgabe bis Di, 03.06. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 27.05.findet keinVortrag statt.
Am 03.06.gibt Christoph Th¨ale (Ruhr-Universit¨at Bochum) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-4.01