L¨ohr/Manger/Winter Sommersemester 2011
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I ¨
Ubungsblatt 3¨
Konstruktion von Ma ß en
Aufgabe* 3.1. (4 Punkte)
(a) Sei x∈R. Bestimme die Verteilungsfunktion des Dirac-Maßesδx,
δx(A) := 1A(x) =
(1, x∈A
0, x /∈A, A∈ B(R).
(b) Sei F(x) :=e−1x ·1]0,∞[(x). Zeige, dass F die Verteilungsfunktion eine Wahrscheinlich- keitsmaßesµF auf Rist und berechne µF [a, b]
f¨ur a≤b.
Aufgabe* 3.2. (4 Punkte)
(a) Sei Ω := {1, . . . ,4} und F := { {1,2},{2,4},{1,3},{3,4} }. Finde Wahrscheinlich- keitsmaße µ6=ν auf Ω, σ(F)
mitµ(F) =ν(F) f¨ur alleF ∈ F.
(b) Finde eine Algebra A ⊆2N aufNund einen Inhalt µ:A →[0,1] dernicht σ-stetig ist.
(c) Finde ein σ-endliches Maß µauf R,B(R) mit µ [a, b]
= ∞ ∀a < b.
(d) Gib einen Maßraum (Ω,A, µ) an, so dass µnicht σ-endlich ist.
Aufgabe 3.3 (Verallgemeinerte Cantor Menge). (4 Punkte) F¨ur 0< x < 12 definieren wir die folgende Funktion auf der Potenzmenge von [0,1]:
fx: 2[0,1]→2[0,1], fx(J) = (xJ)∪(xJ+ 1−x).
Hierbei ist f¨ur B ⊆ R und x, y ∈ R die Menge xB+y definiert als {xb+y |b ∈ B}. Sei eine Folge a = (an)n∈N mit 0 < an < 12 gegeben, und J0 = [0,1]. Dann definieren wir die verallgemeinerte Cantor Menge Ca durch
Jn := fa1 ◦ · · · ◦fan(J0) und Ca := T
n∈NJn. (a) Zeige: Ca ist kompakt und enth¨alt kein nicht-triviales Intervall.
(b#) Zeige: Ca ist ¨uberabz¨ahlbar.
Hinweis: Finde eine Injektion ι:{0,1}N→Ca. (c) Bestimme das Lebesgue-Maßλ(Ca) vonCa.
(d) Finde eine kompakte, ¨uberabz¨ahlbare Lebesgue-Nullmenge A ⊆ [0,1], und eine kom- pakte Menge B ⊆ [0,1] mit positivem Lebesgue-Maß λ(B) > 0 und leerem inneren B˚=∅.
Aufgabe 3.4 (Vervollst¨andigung von Maßr¨aumen). (4 Punkte) Sei (X,A, µ) ein Maßraum und N := {N ⊆ X | ∃A ∈ A : µ(A) = 0, N ⊆ A} die Menge aller Teilmengen vonµ-Nullmengen. Sei
Aµ := σ(A ∪ N).
(a) Zeige, dassAµ={A∪N |A∈ A, N ∈ N }.
(b) Zeige, dass ˜µ(A∪N) :=µ(A) ein Maß auf Aµ definiert.
(c) Zeige, dass der Maßraum (X,Aµ,µ) vollst¨andig ist (d.h. Teilmengen von ˜˜ µ-Nullmengen sind messbar).
(d) Bestimme Aµ f¨ur A:=B(R) und µ:=δx mitx∈R. Hierbei istδx das Dirac-Maß.
Mit * gekennzeichnete Aufgaben sind besonders zur Abgabe empfohlen (Hausaufgaben) Abgabe in der ¨Ubung oder in den Briefkasten bei T03 R03 D89
