L¨ohr/Winter Sommersemester 2017
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 10¨
Radon-Nikodym
Aufgabe 10.1 (Rechenregeln f¨ur Radon-Nikodym Ableitungen). (4 Punkte) Sei (Ω,A) ein messbarer Raum und ν, µ, α endliche Maße auf (Ω,A) mit ν ≪µ≪α.
(a) Zeige, dass die Kettenregel f¨ur die Radon-Nikodym-Ableitung gilt:
dν dα = dν
dµ ·dµ
dα α-fast sicher (f.s.)
(b) Es sei f := dνdµ und es gelte zus¨atzlichµ≪ν, alsoµ≡ν. Zeige, dass dµdν = f1 µ-f.s.
(c) Zeige, dassf := d(µ+ν)dν existiert und dr¨ucke dνdµ mit Hilfe vonf aus.
Aufgabe 10.2 (einfache Radon-Nikodym Ableitungen). (4 Punkte) (a) Ein Laplace-W¨urfel mit Werten 1 bis 6 werde 2-mal unabh¨angig geworfen. Sei P die Verteilung des Minimums, und Qdie des Maximums der beiden W¨urfe. Bestimme dPdQ. (b) Sei λ das Lebesguemaß auf [0,1], f(x) := x2, und P das Bildmaß von λunter f, also
P(A) :=λ f−1(A)
f¨ur A∈ B [0,1]
. Berechne dPdλ.
Aufgabe 10.3 (Bernoulli Maße sind paarweise singul¨ar). (4 Punkte) Sei Ω ={0,1}N und Adie Produkt-σ-Algebra auf Ω. F¨ur p∈[0,1] sei fernerPp = Berp das Bernoulli-Maß. Zeige, dassPp undPq f¨ur p6=q singul¨ar sind, also Pp ⊥Pq.
Aufgabe 10.4 (Lebesgue-singul¨ares Maß ohne Atome). (4 Punkte) SeiP die Gleichverteilung auf der Cantormenge (P =PX mitX aus Aufgabe 8.3), das heißt P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0,1] mit
P(A) = 12P h−11 (A)
+12P h−12 (A)
∀A∈ B [0,1]
f¨ur h1, h2: [0,1]→[0,1] mith1(x) = x3 undh2(x) = x+23 . Seiλdas Lebesguemaß auf [0,1].
(a) Zeige, dassP keinen zuλabsolut stetigen Anteil hat, also P ⊥λ.
Hinweis: Setze A0 = ]13,23[, und rekursiv An+1 = h1(An)∪h2(An). Berechne dann λ(An) und P(An).
Bitte wenden!
(b) Zeige, dass P keine Atome hat, alsoP({x}) = 0 f¨ur alle x∈[0,1] gilt.
Hinweis:Nimm an, es gibt ein Atom. Iteration mith1,h2f¨uhrt dann zum Widerspruch.
Abgabe Di, 11.07. 14:00
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 05.07. (Mi!)gibt Nina Gantert (TU M¨unchen) einen Vortrag.
Am 11.07.gibt Manfred Opper (TU Berlin) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
