L¨ohr/Winter Sommersemester 2017
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 2¨
Mengenfunktionen
Aufgabe 2.1 ((Gegen-)beispiele). (4 Punkte)
(a) Sei Ω := {1, . . . ,4} und F := { {1,2},{2,4},{1,3},{3,4} }. Finde Wahrscheinlich- keitsmaße µ6=ν auf Ω, σ(F)
mitµ(F) =ν(F) f¨ur alleF ∈ F.
(b) Finde eine AlgebraA ⊆2Nauf Nund einen Inhaltµ:A →[0,1] dernicht ∅-stetig ist.
(c) Sei A = σ [a, b]
a, b ∈ R die von den Intervallen erzeugte σ-Algebra. Finde ein σ-endliches Maß µ auf (R,A) mit
µ [a, b]
= ∞ ∀a < b.
(d) Gib einen Maßraum (Ω,A, µ) an, so dass µnicht σ-endlich ist.
Aufgabe 2.2 (Einschluss-Ausschluss-Formel). (4 Punkte) Sei µ ein Inhalt auf einer Algebra A,n ∈N und I :={1, . . . , n}. Zeige f¨ur A1, . . . , An ∈ A dass
µ[
i∈I
Ai
= X
J⊆I, J6=∅
(−1)#J−1·µ \
j∈J
Aj
und
µ\
i∈I
Ai
= X
J⊆I, J6=∅
(−1)#J−1·µ [
j∈J
Aj
.
Hinweis: Verwende vollst¨andige Induktion.
Aufgabe 2.3 (explizite Fortsetzung zu einem Maß). (5 Punkte) Betrachte Ω =R. SeiF ={A⊆R|A endlich },A0 die vonF erzeugte Algebra, undAdie vonA0 erzeugte σ-Algebra.
(a) GibA0 und Aexplizit an.
(b) F¨ur A∈ A0 sei
µ0(A) =
(1, A unendlich,
0, A endlich. (1)
Zeige, dass µ0 ein Inhalt aufA0 ist.
(c) Sei µ0 wie in (1). Gib eine Fortsetzung vonµ0 zu einem Maß aufA an (also ein Maßµ auf A mitµ↾A0 =µ0), oder zeige, dass eine solche Fortsetzung unm¨oglich ist.
(d) Finde zwei endliche Maßeµ6=νaufA, die auf dem∩-stabilen ErzeugerFubereinstimmen.¨
Bitte wenden!
Aufgabe 2.4 (Inhalte sind Superadditiv). (3 Punkte) SeiAein Semiring und µein Inhalt auf A. Seien A, A1, A2, . . . , An∈ A,n∈N. Zeige:
(a) Es existieren disjunkte Mengen D1, . . . , Dm∈ A,m∈N, so dass A\
n
[
j=1
Aj =
m
]
k=1
Dk.
Hinweis: Benutze die vollst¨andige Induktion bzgl. n.
(b) Seien nunA1, . . . An disjunkt und Un
j=1Aj ⊆A, dann gilt
n
X
j=1
µ(Aj)≤µ(A).
Hinweis: Benutze (a).
Abgabe Di, 09.05. 14:00. Bitte die ¨Ubungsgruppe auf den Abgaben mit angeben.
Achtung: die Mittwochs¨ubung wurde um 15 Minuten auf 14:00h vorverlegt.
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 03.05.gibt Barbara Gentz (Universit¨at Bielefeld) einen Vortrag ¨uber Metastability in diffusion processes and synchronization Hierzu ergeht eine herzliche Einladung.Mi, 17:15 in WSC-S-U-4.02
