L¨ohr/Winter Sommersemester 2014
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 3¨
Mengenfunktionen
Aufgabe 3.1 (Beispiele). (4 Punkte)
(a) Sei Ω := {1, . . . ,4} und F := { {1,2},{2,4},{1,3},{3,4} }. Finde Wahrscheinlich- keitsmaße µ6=ν auf Ω, σ(F)
mitµ(F) =ν(F) f¨ur alleF ∈ F.
(b) Finde eine Algebra A ⊆2N aufNund einen Inhalt µ:A →[0,1] dernicht σ-stetig ist.
(c) Finde ein σ-endliches Maß µauf R,B(R) mit µ [a, b]
= ∞ ∀a < b.
(d) Gib einen Maßraum (Ω,A, µ) an, so dass µnicht σ-endlich ist.
Aufgabe 3.2. (4 Punkte)
Betrachte Ω =R. SeiF ={A⊆R|A endlich },A0 die vonF erzeugte Algebra, undAdie vonA0 erzeugte σ-Algebra.
(a) F¨ur A∈ A0 Sei
µ0(A) =
(1, A unendlich 0, A endlich .
Zeige, dass µ0 ein Inhalt aufA0 ist. L¨asst sichµ0 zu einem Maß aufAfortsetzen? (mit Begr¨undung)
(b) Finde zwei verschiedene, endliche Maße µ6=ν auf A, die auf dem ∩-stabilen Erzeuger F ubereinstimmen.¨
(c) Lassen sich die Maßeµ undν aus (b) als Wahrscheinlichkeitsmaße w¨ahlen?
Aufgabe 3.3 (Einschluss-Ausschluss-Formel). (4 Punkte) SeiP ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einerσ-AlgebraA. Ferner seienn∈N,A1, . . . , An∈ A und I :={1, . . . , n}. Zeige, dass
P[
i∈I
Ai
= X
i∈I
P(Ai)− X
i1,i2∈I i1<i2
P(Ai1∩Ai2) + X
i1,...,i3∈I i1<···<i3
P(Ai1 ∩ · · · ∩Ai3)− · · ·
= X
J⊆I, J6=∅
(−1)#J−1·P \
j∈J
Aj
Hinweis: Verwende vollst¨andige Induktion.
Bitte wenden!
Aufgabe 3.4 (Teilr¨aume). (4 Punkte) Sei (Ω,A) ein messbarer Raum undA∈ A. Die Einschr¨ankung vonAaufAistA↾A:={B ⊆ A|B ∈ A }.
(a) Zeige, dassA↾A eine σ-Algebra ist.
(b) Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (A,A↾A). Definiere ¯µ(B) = µ(B ∩A) f¨ur alle B ∈ A. Zeige, dass ¯µein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω,A) ist.
(c) Sei nun Ω ein topologischer Raum und A=B(Ω) die Borelsche σ-Algebra. Zeige, dass B(A) =A↾A, wobeiA nat¨urlich mit der Teilraumtopologie versehen ist.
Abgabe bis Di, 06.05. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 29.04.gibt Paolo Di Tella (Humboldt-Universit¨at Berlin) einen Vortrag ¨uber The Chaotic Representation Property of Certain Families of Martingales
Abstract: We investigate the chaotic representation property of certain families of square integrable martingales, which we call compensated-covariation stable families. First, we introduce the multiple integrals with respect to elements of a compensated-covariation stable family of martingales. The main result is that any compensated-covariation stable family of martingales which satisfies some further conditions possesses the chaotic representation property. As first examples, we consider continuous Gaussian families of martingales and independent families of compensated Poisson processes. Then we apply the result to the case of L´evy processes. We shall construct families of martingales relative to a L´evy filtration which possess the chaotic representation property. We give several examples including Teugels martingales.
Am06.05.gibt Alexander Gushchin (Steklov Mathematical Institute Moskow) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.01
