Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I

L¨ohr/Winter Sommersemester 2017

Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I

Ubungsblatt 1¨

Mengensysteme

Sei Ω immer eine nicht-leere Menge.

Aufgabe 1.1 (Die leere Menge). (3 Punkte)

(a) Bestimme die Potenzmenge der Potenzmenge der leeren Menge.

(b) Bestimme die von ∅ auf Ω erzeugteσ-Algebra σ(∅).

(c) Bestimme die Anzahl der Elemente der Menge n∅,{∅},∅ ∪ {∅},{∅} ∪

{∅} ,

∅,{∅} , {∅} o

.

Aufgabe 1.2 (Gegenbeispiele). (4 Punkte)

(a) Sei A die Menge derjenigen Teilmengen A von [0,1], deren Indikatorfunktion 1A Rie- mannintegrierbar ist. Zeige, dassA eine Algebra aber keine σ-Algebra ist.

Hinweis:Aus der Analysis ist bekannt, dass das Produkt zweier Riemannintegrierbarer Funktionen wieder Riemannintegrierbar ist.

Bemerkung: Die Mengen aus A heißen Jordanmessbar.

(b) Gib zwei σ-Algebren auf derselben Menge Ω an, deren Vereinigung keine σ-Algebra ist.

Aufgabe 1.3 (Von Partitionen erzeugte Mengensysteme). (5 Punkte) Sei I eine Menge undπ = (πi)i∈I eine Partition von Ω, das heißt π_i∩π_j =∅ f¨ur i6=j, und S

i∈Iπi = Ω.

(a) Zeige, dass f¨ur die von π erzeugte σ-Algebra gilt:

σ(π) = n [

i∈J

π_i

J ⊆I mitJ abz¨ahlbar oderI\J abz¨ahlbaro .

(b) Bestimme das von π erzeugte Dynkin-System.

(c) Bestimme die von π erzeugte Topologie τ(π). Stimmen τ(π) und σ(π) im Allgemeinen uberein?¨

Bitte wenden!

Aufgabe 1.4 (Folgen von Mengen). (4 Punkte) Es sei (An)n∈N eine Folge von MengenA_n⊆Ω. Das Komplement einer Menge B sei ∁B :=

Ω\B. Der untere bzw. obere Mengenlimes der Folge (An)_n∈N ist definiert als die Menge A∗ := lim inf

n→∞ A_n := [

m∈N

\

n≥m

A_n bzw. A^∗ := lim sup

n→∞

A_n := \

m∈N

[

n≥m

A_n.

(a) Beschreibe (verbal), welche Elemente in A∗ bzw.A^∗ liegen.

(b) Zeige: A_∗ ⊂A^∗.

(c) Zeige: ∁A∗ = lim sup_n→∞(∁A_n), und∁A^∗= lim infn→∞(∁A_n).

(d) Zeige, dass f¨ur ω ∈Ω gilt:

1A_∗(ω) = lim inf

n→∞ 1An(ω) und 1A^∗(ω) = lim sup

n→∞ 1An(ω).

Hierbei bezeichnet

”lim sup“ bzw.

”lim inf“ die aus der Analysis f¨ur Zahlenfolgen be- kannten Begriffe.

Abgabe Di, 02.05. 14:00

Arbeitsgruppenvortr¨age:

Am 25.04.gibt Sandra Kliem (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Travelling wave solutions to the KPP equation with branching noise Hierzu ergeht eine herzliche Einladung.Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03