L¨ohr/Winter Sommersemester 2017
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 12¨
Test ¨ uber den Stoff der ¨ Ubungsbl¨ atter 8–11
Bearbeitungszeit: 45min.
Maximalpunktzahl: 17. Hilfsmittel: keine (ausser Papier und Stift).
Der Test wird weder bewertet noch besprochen, sondern dient einzig der Selbstkontrolle.
Die Aufgaben sollten von der selben Art und dem selben Schwierigkeitsgrad sein, wie die Klausuraufgaben zu diesem Teil des Stoffes.
Aufgabe 12.1. (4 Punkte)
(a) Formuliere das Lemma von Fatou.
(b) F¨ur n ∈Nsei Xn exponentialverteilt mit Parameter 1, Bn Binomialverteilt mit Para- metern nund 12,Vn unabh¨angig vonBn, sowie Bernoulliverteilt mit Parameter n1. Zeige: Falls Yn :=Xn+Vn·Bn fast sicher gegen eine Zufallsvariable Y konvergiert, so giltE(Y)≤2.
Aufgabe 12.2. (6 Punkte)
(a) Definiere, wann einer Folge (Xn)n∈N von Zufallsvariablen mit Werten in einem metri- schen Raum (E, d) fast sicher gegen dieE-wertige Zufallsvariable X konvergiert.
Sei nun (Xn)n∈N eine Folge unabh¨angiger, auf [0,1] gleichverteilter Zufallsvariablen und Yn := min
k∈{1,...,n}Xk.
(b) Entscheide und begr¨unde, ob (Yn)n∈N in Wahrscheinlichkeit konvergiert.
(c) Entscheide und begr¨unde, ob (Yn)n∈N fast sicher konvergiert.
Aufgabe 12.3. (7 Punkte)
(a) Seien X und Y R-wertige, integrierbare Zufallsvariablen. Gib die definierenden Eigen- schaften der bedingten Erwartung E(X |Y) an.
(b) SeiXstandardnormalverteilt undY eineR-wertige Zufallsvariable mitE(Y |X) =−X.
Berechne E(Y).
(c) Seien U, V unabh¨angig und auf [0,1] gleichverteilt. BerechneE √
U +V
U
. (d) Seien X, Y unabh¨angig, gleichverteilt auf [0,1]. BerechneE(X|X+Y).
Viel Erfolg!
